
\newpage
\thispagestyle{plain}
\section{Theoretische Grundlagen}\label{sec:Theorie}

%\subsection{Rechnerunterstütztes Konstruieren}
%\ac{CAD}

%\subsubsection{Flächendarstellung}
%\subsubsection{Datenaustausch}


%\subsection{Aerodynamik einer Windenergieanlage}


%\subsection{Strukturdynamik einer Windenergieanlage}


\subsection{Numerische Strukturmechanik}
Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken physikalische Fragestellungen zu beantworten.
So sind für strukturmechanische Probleme einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten 
als auch die Eigenformen zum Verständnis der Konstruktion und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse. 
Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
%verwiesen.
Wobei die Grundlage dieser Darstellung wiederum die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch sind.

Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
und bei allgemeinen dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
Gewonnen werden diese Differentialgleichung durch Gleichgewichtsbetrachtungen eines beliebigen Festkörpers, der entweder statisch bestimmt oder statisch überbestimmt gelagert und mit äußeren Lasten beaufschlagt ist.
Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird;
die Partitionierung wobei das Berechnungsgebiet in Elementen mit Knoten eingeteilt wird und das Gebiet als Summe der Elemente anzusehen ist,
die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wird und die Elemente fortan in Abhängigkeit der Knotenverformung beschrieben sind und schließlich
die Assemblierung die das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.

\subsubsection{Statische Analysen}\label{statik}
Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(v\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial v\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung -- 
\[
  \begin{Array}{rlll}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } v, \\
    \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial v_1, & \text{(\textsc{Dirichlet}'sche Randbedingungen)}\\
    \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial v_2, & \text{(\textsc{Neumann}'sche Randbedingungen)} \\
    &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial v_1 \cup \partial v_2 = \partial v ~\text{und}~\partial v_1 \cap \partial v_2 = \emptyset.}
  \end{Array}
\]
Die Summe der
%partiell abgeleiteten
%inneren Spannungen
gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht, siehe dazu auch folgende Gleichung sowie Abbildung~\ref{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} rechts mit Darstellung der in \(x\) gerichteten Kräften. 
\[
  \begin{Array}{rll}\displaystyle
  \left(\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x - \sigma\ti{xx}\right)\dif y \dif z +
  \left(\tau\ti{yx}+\frac{\partial\tau\ti{yx}}{\partial y}\dif y - \tau\ti{yx}\right)\dif x \dif z +
  \left(\tau\ti{zx}+\frac{\partial\tau\ti{zx}}{\partial z}\dif z - \tau\ti{zx}\right)\dif x \dif y ~&(+)\\
  + f\ti{x}\dif x \dif y \dif z &= 0
  \\ \displaystyle
  \implies \quad
  \sigma\ti{xx,x} + \tau\ti{yx,y} + \tau\ti{zx,z} + f\ti{x} &= 0
  \end{Array}
\]
Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial v_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial v_2\).
Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird. 


%\begin{tikzpicture}
%    \tikzcuboid{%
%    shiftx=0cm,%
%    shifty=0cm,%
%    scale=1.00,%
%    rotation=0,%
%    densityx=1,%
%    densityy=1,%
%    densityz=1,%
%    dimx=2,%
%    dimy=2,%
%    dimz=2,%
%    front/.style={draw=blue!75!black,fill=blue!25!white},%
%    right/.style={draw=blue!25!black,fill=blue!75!white},%
%    top/.style={draw=blue!50!black,fill=blue!50!white},%
%    anglex=-7,%
%    angley=90,%
%    anglez=221.5,%
%    scalex=1,%
%    scaley=1,%
%    scalez=0.5,%
%    emphedge=false,%
%    shade,%
%    shadeopacity=0.15,%
%    }
%\end{tikzpicture}


%
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
  \fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
  
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (0,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (0,1,0);
  \draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
  \draw[color=black!50] (0,1,0) -- (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
    
  % Z-Ebene
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below] {$\tau\ti{zx}$};
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.9,1) node[right] {$\tau\ti{zy}$};
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.5,1.4) node[left] {$\sigma\ti{zz}$};
    
  % X-Ebene
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.5,.9) node[below right] {$\tau\ti{xz}$};
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.9,.5) node[right] {$\tau\ti{xy}$};
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\sigma\ti{xx}$};
    
  % Y-Ebene
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1,.9) node[left] {$\tau\ti{yz}$};
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above] {$\tau\ti{yx}$};
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1.4,.5) node[right] {$\sigma\ti{yy}$};
    
  % Koordinatensystem
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.6,0,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,.3,0) node[above] {$y$};
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,0,.3) node[below left] {$z$};
}
\end{tikzpicture}
\hspace{.5em}
%\raisebox{0.9em}{
%\begin{tikzpicture}[scale=2]
%{
%  \fill[color=black!5] (0,0,0) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
%  \draw[color=black!50] (0,0,0) -- node[below, color=black] {$\dif{x}$} (1,0,0) -- (1,1,0) -- node[above, color=black] {Vergleich mit 1D} (0,1,0) -- cycle;
%  \draw[<-] (-0.5,0.5,0) -- (0,0.5,0) node[above left] {$\sigma(x)$};
%  \draw[->] (1,0.5,0) node[above right] {$\sigma(x+\dif{x})$} -- (1.5,0.5,0);
%}
%\end{tikzpicture}
%}
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
  \fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
  
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- node[below left,color=black]{$\dif z$} (0,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- node[above left=-4pt and -4pt,color=black]{$\dif y$} (0,1,0);
  \draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
  \draw[color=black!50] (0,1,0) -- node[above left,color=black]{$\dif x$} (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (1,0,0);
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,1,0);
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,0,1);
    
  % X-Ebene
  \fill[color=black!35] (1,.45,.55) -- (1,.45,.45) -- (1,.55,.45) -- (1,.55,.55) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,.45,.55) -- (0,.45,.45) -- (0,.55,.45) -- (0,.55,.55) -- cycle;
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\displaystyle\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x$};
  \draw[dashed] (0,.5,.5) -- (-.2,.5,.5);
  \draw[->] (-.2,.5,.5) -- (-.4,.5,.5) node[left] {$\sigma\ti{xx}$};
    
  % Y-Ebene
  \fill[color=black!25] (.45,1,.55) -- (.55,1,.55) -- (.55,1,.45) -- (.45,1,.45) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (.45,0,.55) -- (.55,0,.55) -- (.55,0,.45) -- (.45,0,.45) -- cycle;
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{yx}+\frac{\partial\tau\ti{yx}}{\partial y}\dif y$};
  \draw[->,dashed] (.5,0,.5) -- (.1,0,.5) node[below] {$\tau\ti{yx}$};
    
  % Z-Ebene
  \fill[color=black!12] (.45,.45,1) -- (.55,.45,1) -- (.55,.55,1) -- (.45,.55,1) -- cycle;
  \fill[color=black!12] (.45,.45,0) -- (.55,.45,0) -- (.55,.55,0) -- (.45,.55,0) -- cycle;
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{zx}+\frac{\partial\tau\ti{zx}}{\partial z}\dif z$};
  \draw[->,dashed] (.5,.5,0) -- (.1,.5,0) node[above right] {$\tau\ti{zx}$};
    
  % fx
  \draw[double -latex=2pt colored by black!80 and white] (.1,.5,.5) -- (.5,.5,.5) node[right] {$f\ti{x}$};
}
\end{tikzpicture}
\caption{Kräfte an einem infinitesimalen Volumenelement}
\label{pgfplots:Kraeftegleichgewicht}
\end{figure} \vspace{-1.5em}

\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(v)\cap C(\overline{v}) \text{ mit } \overline{v}=v \cup \partial v,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial v_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(v\)
\[
%
%  \underbrace{\int\limits_{v\vphantom{v_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif v }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_v\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif a 
%%  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
%  }_{\delta W\ti{a}}
%
  \underbrace{\int\limits_{v\vphantom{v_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \delta\tensorII{\varepsilon})\dif v }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_v\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif a 
%  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
  }_{\delta W\ti{a}}
\]
wobei 
%\( \nabla\cdot(\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}) = \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u} + \tensorII{\sigma}:\nabla\delta\tensorI{u} \)
%(Produktregel mit symmetrischen Tensor \(\tensorII{\sigma}^\T=\tensorII{\sigma}\))
%und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
%(Gauß'sche Integralsatz)
\( \int_v \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v = \int_a(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif a - \int_v\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif v \)
(\textsc{Green}'sche Integralsatz)
sowie
\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \). % im linearen Fall : allg. da kleine virtuelle Verrückung. 
Es sei darauf hingewiesen, dass die Integration über das verformte Volumen \(v\) erfolgt, wobei die Integration für kleine Verformungen näherungsweise über das unverformte Volumen \(V\) erfolgt.

\paragraph{Kinematik}~\\
Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung ist für kleine Verformung
%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
als Verzerrungstensor gegeben
\[
  \begin{Array}{rrll} 
  &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left(  \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
  \\
  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix}
  \end{Array}
\]
%\[
%  \begin{Array}{rrll} 
%  &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
%  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
%  \end{Array}
%\]
% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
% \end{bmatrix} \]
%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\)
oder ausführlich
\[
  \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\
    0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\
    0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\
    0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\
    \Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\
    \Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    u_1 \\ u_2 \\ u_3
  \end{bmatrix}
\]
Hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix.
Aufgrund der, in technischen Anwendungen, häufig kleinen vorhandenen Dehnungen, wird der lineare Verzerrungstensor auch als \emph{technische Dehnung} bezeichnet.
Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
%Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.
Hierzu ist es notwendig die für geometrisch lineare Berechnung vorausgesetzten Annahmen
\begin{itemize}
\item Gleichgewicht am unverformten System,
\item kleine Rotationen (\(\sin\vartheta\approx\tan\vartheta\approx \vartheta,~ \cos\vartheta\approx 1\)) und
\item kleine Dehnungen
\end{itemize}
aufzuheben.

Mit den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lassen sich Deformationen eines Körpers bei großen Rotationen im Ausgangszustand beschreiben \cite{roesler12}
\[
  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{F}^\T\tensorII{F} - \tensorII{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tensorII{C} - \tensorII{I}\right)
  \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F}
\]
Hierin ist \(\tensorII{F}\) der Deformationsgradient, \(\tensorII{C}\) der rechte \textsc{Cauchy-Green}"=Tensor und \(\tensorII{I}\) die Einheitsmatrix.
Der Deformationsgradient~\(\tensorII{F}\) bildet ein materielles Linienelement des unverformten Ausgangszustand \(\dif\tensorI{X}\) auf ein materielles Linienelement des verformten Momentanzustand \(\dif\tensorI{x}\) ab.
Die Komponenten des Deformationsgradienten sind durch das totale Differential 
\[
  \dif x_i = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \dif X_j = F_{ij}\dif X_j
  \quad \text{mit}\quad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}
  \qquad \text{bzw.}\quad
  \dif\tensorI{x} = \nabla\tensorI{x}\dif\tensorI{X} = \tensorII{F} \dif\tensorI{X} \quad \text{mit}\quad \tensorII{F}=\nabla\tensorI{x}
\]
gegeben.
Neben der Transformation von Linienelemente und der Kenntnis des Deformationsgradienten erfolgt die Transformation von Flächenelemente 
nach der Formel von \textsc{Nanson}~\cite[S.\,88]{ogden84}
\[
  \dif\tensor{a} = \tensor{n} \dif a = J \tensorII{F}^{-\T} \tensorI{N} \dif A = J \tensorII{F}^{-\T} \dif \tensorI{A}
  \quad\text{mit}\quad J = \det{\tensorII{F}}
\]
Hierin ist \(\tensorI{n}\) der Flächennormalenvektor in der Momentankonfiguration und \(\tensorI{N}\) der Flächennormalenvektor in der Ausgangskonfiguration sowie \(J\) die \textsc{Jacobi}"=Determinante zum Deformationsgradient. 
Für die Transformation der Volumenelemente gilt
\[
  \dif v = J \dif V
\]
Mit der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten in einen orthogonalen Rotationstensor \(\tensorII{R}\) (mit \(\tensorII{R}^{-1} = \tensorII{R}\)) und einen symmetrischen Strecktensor \(\tensorII{U}\) wird die Starrkörperrotation getrennt von der Streckung beschrieben. \cite[S. 92]{ogden84}
\[
  \tensorII{F} = \tensorII{R}\tensorII{U}
\]
Liegt eine reine Starrkörperrotation vor ist \(\tensorII{F} = \tensorII{R}\) und der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor
\[
  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{R}^\T\tensorII{R} - \tensorII{I}\right) = \tensorII{0}
\]
Somit ruft eine reine Starrkörperrotation keine Dehnungen hervor.

Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor lässt sich ebenfalls mit den Verschiebungen beziehungsweise dem Verschiebungsgradienten beschreiben.
%Hierzu wird die Verschiebung und die Änderung der Verschiebung verwendet.
Die Deformation des Körpers ist durch den Verschiebungsvektor \(\tensorI{u}\) bestimmt
\[
  \tensorI{u} = \tensorI{x} - \tensorI{X}
\]
Die Änderung des betrachteten materiellen Linienelements ist mit dem Deformationsgradienten entsprechend 
\[
  \dif\tensorI{u} = \dif\tensorI{x} - \dif\tensorI{X}
  = (\tensorII{F} - \tensorII{I}) \dif\tensorI{X} 
  = \tensorII{H} \dif\tensorI{X} 
  \quad\text{mit}\quad \tensorII{H} = \tensorII{F} - \tensorII{I} = \nabla\tensorI{u} = \left[\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right]
\]
Hierin ist \(\tensorII{H}\) der Verschiebungsgradient.
Wird für den \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der Deformationsgradienten durch den Verschiebungsgradient ersetzt nimmt der Verzerrungstensor folgende Form an
\[
  \tensorII{E}\ti{G} = \frac{1}{2}\left(\tensorII{H} + \tensorII{H}^\T + \tensorII{H}^\T\tensorII{H} \right)
  \quad \text{bzw.}\quad
  E_{\text{G}\,ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} + \frac{\partial u_k}{\partial X_j}\frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right)
\]
Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms entspricht der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor der linearen technischen Dehnung.

Der \textsc{Green-Lagrange}"=Verzerrungstensor eignet sich für große Rotationen und kleine Streckungen, wie zum Beispiel für die Platten- und Schalentheorie.
Für hingegen große Rotationen und große Streckungen sind die logarithmischen oder wahren Dehnungen beziehungsweise \textsc{Hencky}"=Dehnungen geeignet. \cite{wriggers01,nasdala12}
\[
  \tensorII{E}\ti{H} = \ln{\tensorII{U}} = \frac{1}{2}\ln{\tensorII{C}} = \frac{1}{2}\ln{(\tensorII{F}^\T\tensorII{F}}) 
  \quad \text{mit}\quad \tensorII{C} = \tensorII{F}^\T\tensorII{F} = \tensorII{U}^2
\]



\paragraph{Materialgesetz}~\\
Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Verzerrungen das folgende Materialgesetz
\[
  \begin{Array}{rrcll}
  &\tensorII{\sigma} &=& \tensorIV{C}:\tensorII{\varepsilon} & \text{bzw.}\quad\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \\
  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\sigma}_{6\times1} &=& \tensor{C}_{6\times6} \tensor{\varepsilon}_{6\times1} & \quad\text{da } \tensorII{\sigma}^\T = \tensorII{\sigma} ~\wedge~ \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}
  \end{Array}
\]
oder Ausführlich
\[
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
    C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
    C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
    C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
    C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
    C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \\
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{3} \\ \varepsilon\ti{4} \\ \varepsilon\ti{5} \\ \varepsilon\ti{6}
  \end{bmatrix} 
  \quad
  \text{mit}
  \quad
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6}
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}
  \end{bmatrix}
  ~,~
  \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{3} \\ \varepsilon\ti{4} \\ \varepsilon\ti{5} \\ \varepsilon\ti{6}
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13} \\ 2\varepsilon\ti{12}
  \end{bmatrix} 
\]
Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem bekannteren eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) das Verhalten nicht mit einer einzigen Zahl oder Größe beschrieben wird.
Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.

Mit dem Momentengleichgewicht am infinitesimalen Volumen zeigt sich, dass bei Abwesenheit von verteilten Momenten sowohl der Spannungstensor als auch der Verzerrungstensor symmetrisch sind und somit jeweils nur sechs unabhängige Komponenten haben. Es lässt sich ebenfalls zeigen dass der Elastizitätstensor höchstens \(6^2=36\) Komponenten hat und dass mit Hilfe der Formänderungsenergiedichte \(w\ti{f}\)
\[
  w\ti{f} = \!\!\int\!\!\!\sigma_{ij}\dif\varepsilon_{ij}
  = C_{ijkl}\!\!\int\!\!\!\varepsilon_{kl} \dif\varepsilon_{ij} 
  = \frac{1}{2} C_{ijkl} \varepsilon_{kl} \varepsilon_{ij} 
  = \frac{1}{2} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij}
  \quad\text{mit } \sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl} ~,~~ i,j,k,l=1,2,3~.
\]
die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten auf 21 reduzieren (\(C_{ijkl} = C_{klij}\) beziehungsweise \(C_{rs} = C_{sr}\) mit \(r,s=1,2,3,4,5,6\)).

Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung von beispielsweise Plastizität oder hyperelastisches Materialverhalten wird auf \cite{becker02} und \cite{roesler12} verwiesen.

Im Zuge der geometrischen Nichtlinearität beziehungsweise mit dem Bezug auf die Ausgangskonfiguration wird der erste \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensor
\[
  \tensorII{P} = J \tensorII{\sigma} \tensorII{F}^{-T} =  \tensorII{\tau} \tensorII{F}^{-T}
  \quad\text{mit}\quad \tensorII{\tau} = J \tensorII{\sigma}
\]
eingeführt, wobei \(\tensorII{\tau}\) der \textsc{Kirchhoff}"=Spannungstensor ist.
%Ebenso wie die nichtlinearen Verzerrungstensoren sind die \textsc{Piola-Kirchhoff}"=Spannungstensoren auf den Ausgangszustand bezogen.


\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung} des Volumens
\[
  V \approx \bigcup V^{(e)}
\] 
Hiermit ist das Gesamtvolumen die Vereinigung der diskreten Einzelvolumen oder Elemente.

Die \emph{Approximation}, mittels Ansatzfunktionen als Linearkombination von Formfunktionen mit Knotenverformungen als Koeffizienten, lautet
\[
  \tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V)
\]
worin \( \tensor{u}\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(\tensor{N}\) die Formfunktionen und \(\tensor{\hat{u}}\) die Knotenverformung sind. 
Werden für die Volumenvernetzung Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Formfunktionen verwendet (acht Knoten) nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
\[
  \tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1}   
\]
Die Formfunktion eines Elementknotens kann durch Multiplikation der zu diesem Knoten korrespondierenden (drei) eindimensionalen Formfunktionen (\textsc{Lagrange}"=Polynome) entwickelt werden.\cite{kuhl07}
Dabei werden die Formfunktionen des jeweiligen Knotens~\(N_i\) mit Hilfe der Interpolationseigenschaften 
\[
  \begin{Array}{lll} 
  N_i(\tensorI{\xi}^i) = 1 ~, \quad i = 1, 2, \ldots, 8~,\\
  N_i(\tensorI{\xi}^j) = 0 ~, \quad j \neq i
  \end{Array}
\]
hergeleitet, wobei mit \(\tensorI{\xi}^i\) die Koordinate zum Knoten~\(i\) gemeint ist.
Die Abbildung~\ref{pgfplots:Formfunktion} zeigt am Beispiel des dritten Knotens die entsprechende Formfunktion.
%
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \coordinate (k1) at (-.5,-.5,-.5);
  \coordinate (k2) at (.5,-.5,-.5);
  \coordinate (k3) at (.5,.5,-.5);
  \coordinate (k4) at (-.5,.5,-.5);
  \coordinate (k5) at (-.5,-.5,.5);
  \coordinate (k6) at (.5,-.5,.5);
  \coordinate (k7) at (.5,.5,.5);
  \coordinate (k8) at (-.5,.5,.5);
  
  \coordinate (n31) at ($(k3)+(.2,0,0)$);
  \coordinate (n32) at ($(k3)+(0,.2,0)$);
  \coordinate (n33) at ($(k3)+(0,0,-.2)$);
  
  \fill[color=black!25] (n33) -- (k4) -- (k3) -- cycle;
  \fill[color=black!25] (n33) -- (k3) -- (k2) -- cycle;
  \draw[color=matlab2!100,very thick] (k3) -- (n33);
  \draw[color=black!100,thick] (n33) -- (k2);
  \draw[color=black!100,thick] (n33) -- (k4);
  
  \fill[color=black!25] (n31) -- (k3) -- (k7) -- cycle;
  \fill[color=white] (k2) -- (n31) -- (k7) -- (k6) -- cycle;
  \draw[color=matlab2!100,very thick] (k3) -- (n31);
  \draw[color=black!100,thick] (n31) -- (k2);
  \draw[color=black!100,thick] (n31) -- (k7);
  
  \fill[color=black!25] (n32) -- (k7) -- (k3) -- cycle;
  \fill[color=white] (n32) -- (k4) -- (k8) -- (k7) -- cycle;
  \draw[color=matlab2!100,very thick] (k3) -- (n32);
  \draw[color=black!100,thick] (n32) -- (k4);
  \draw[color=black!100,thick] (n32) -- (k7);
  
  \path[->] ($(k3)+(.4,.2,0)$) edge [in=0, out=-145] ($(k3)+(0,.125,0)$);
  \path[->] ($(k3)+(.4,.2,0)$) edge [in=10, out=-145] ($(k3)+(0,0,-.125)$);
  \path[->] ($(k3)+(.4,.2,0)$) edge [in=45, out=-145] ($(k3)+(.125,0,0)$);
  \node[above right=-.2 and -.075] at ($(k3)+(.4,.2,0)$) {\small 1};
  
  \draw[color=black!100] (k2) -- (k3) -- (k4);
  \draw[color=black!100,thick] (k2) -- (k6);
  \draw[color=black!100] (k3) -- (k7);
  \draw[color=black!100,thick] (k4) -- (k8);
  \draw[color=black!100,thick] (k5) -- (k6) -- (k7) -- (k8) -- cycle;

  \draw[thick] (k2) circle (.04) node[right=.1] {2};
  \draw[thick] (k3) circle (.04) node[above right=.25 and .1] {3};
  \draw[thick] (k4) circle (.04) node[left=.1] {4};
  \draw[thick] (k5) circle (.04) node[left=.1] {5};
  \draw[thick] (k6) circle (.04) node[right=.1] {6};
  \draw[thick] (k7) circle (.04) node[right=.1] {7};
  \draw[thick] (k8) circle (.04) node[left=.1] {8};
  
  %\draw[color=black!70,dashed] (k1) -- (k2);
  %\draw[color=black!70,dashed] (k1) -- (k4);
  %\draw[color=black!70,dashed] (k1) -- (k5);
  
  % Koordinatensystem
  \draw[->] (.6,0,0) -- (1,0,0) node[right] {$\xi_1$};
  \draw[->] (0,.6,0) -- (0,1,0) node[above] {$\xi_2$};
  \draw[->] (0,0,.5) -- (0,0,1) node[below left] {$\xi_3$};
}
\end{tikzpicture}
\caption[Formfunktion \(N_3(\tensor{\xi})\) des Achtknoten"=Volumenelements]{Formfunktion \(N_3(\tensorI{\xi})\) des Achtknoten"=Volumenelements}
\label{pgfplots:Formfunktion}
\end{figure} \vspace{-1.5em}
%
Die acht Formfunktionen des trilinearen Volumenelements, die in Abhängigkeit dem zum Element gewählten natürlichen Koordinaten \(\tensorI{\xi}\) (mit \(\xi_i=[-1,1]\)) beschrieben sind, lauten
\[
  \begin{Array}{lll} 
    N_1(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\
    N_2(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\
    N_3(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3) \\
    N_4(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3) \\
    N_5(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3) \\
    N_6(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3) \\
    N_7(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \\
    N_8(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \\
  \end{Array}
\]
wobei für die Anordnung in die Matrix der Formfunktionen~\(\tensor{N}\) zuerst die jeweilige Formfunktion zum Knoten \(N_i\) diagonal zu jeden Freiheitsgrad in eine Untermatrix \(\tensor{N}_{\!i}\) abgebildet werden. Anschließend werden diese Untermatrizen in Reihe für jeden Knoten angeordnet.
\[
  \tensor{N}_i(\tensorI{\xi}) = \begin{bmatrix}
    N_i(\tensorI{\xi}) & 0 & 0 \\
    0 & N_i(\tensorI{\xi}) & 0 \\
    0 & 0 & N_i(\tensorI{\xi})
  \end{bmatrix}
  \qquad
  \tensor{N}(\tensorI{\xi}) = \begin{bmatrix}
    \tensor{N}_1(\tensorI{\xi}) & \tensor{N}_2(\tensorI{\xi}) & \cdots & \tensor{N}_8(\tensorI{\xi})
  \end{bmatrix}
\]
Sollen die Formfunktionen mit natürlichen Koordinaten verwendet werden, muss für den Verzerrungstensor die Ableitungen nach den physikalischen globalen Koordinaten~\(\tensorI{X}\) und den natürlichen Elementkoordinaten~\(\tensorI{\xi}\) eine Transformation erfolgen. Es gilt als Transformationsbeziehung
\[
  \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial\xi_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_3}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_1} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_1} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_1} \\
    \Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_2} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_2} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_2} \\
    \Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_3} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_3} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_3} \\
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_3}
  \end{bmatrix}
  \quad\text{bzw.}\quad
  \frac{\partial}{\partial\tensorI{\xi}} = \tensorII{J}(\tensorI{\xi})\frac{\partial}{\partial\tensorI{X}}
\]
Hierin ist \(\tensorII{J}(\tensorI{\xi})\) die \textsc{Jacobi}"=Matrix. 
Mit der Inversen"=\textsc{Jacobi}"=Matrix wird die Transformationsbeziehung zur Ableitung von Funktion in natürliche Koordinaten nach den physikalischen Koordinaten beschrieben.
\[
  \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_3}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_1} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_1} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_1} \\
    \Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_2} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_2} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_2} \\
    \Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_3} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_3} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_3} \\
  \end{bmatrix} 
  \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial\xi_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_3}
  \end{bmatrix}
  \quad\text{bzw.}\quad
  \frac{\partial}{\partial\tensorI{X}} = \tensorII{J}^{-1}(\tensorI{\xi})\frac{\partial}{\partial\tensorI{\xi}}
\]
Mit Hilfe der \textsc{Jacobi}"=Determinante ist das Volumenelement \(\dif V\) in physikalischen Koordinaten in das Volumenelement in natürlichen Koordinaten zu transformieren.
\[
  \dif V = \abs{\tensorII{J}(\tensorI{\xi})} \dif\xi_1\dif\xi_2\dif\xi_3
\]

Das Gebiet des Randwertproblem für kleine Verformungen (mit \(v=V\)) wird mit der \emph{Assemblierung} als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
\[
  \begin{Array}{rll} \displaystyle
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} &\displaystyle= 
  \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}\big|_{V^{(e)}}}
  \quad , \\[4.5em]
  \displaystyle
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}} &\displaystyle=
  \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}}
  \end{Array}
\]
%Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu
Mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung ergibt sich die virtuelle innere Arbeit zu
\[
  \begin{Array}{rll} \displaystyle
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle = 
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{C} \tensor{\varepsilon} \cdot \delta\tensor{\varepsilon} \dif V  = 
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T 
  \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!
  \underbrace{\left( \mathcal{D} \tensor{N} \right)^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\mathcal{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}}  \\[2em]
    & \displaystyle = 
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} =  \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\[1.5em]
    & \displaystyle = 
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen.
Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix.

Die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
\[
  \begin{Array}{rll} \displaystyle
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A &\displaystyle =
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \sum\limits_{(e)} \delta\tensorI{\hat{u}}^\T\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A \\[2em]
  & \displaystyle =
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A\\[1.5em]
  & \displaystyle =
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Hierin ist \(\tensor{\hat{r}}\) der Knotenlastvektor.
Mit den beiden virtuellen Arbeitsaussagen lautet das globale Gleichgewicht
\[
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}
\]
Abschließend wird die virtuelle Verschiebung ausgeklammert
\[
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad\rightarrow\quad
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T (\tensor{K} \tensor{\hat{u}} - \tensor{\hat{r}}) = 0
\]
Aus dem Variationsargument, dass diese Gleichung für beliebige virtuelle Verschiebungen gelten soll, muss der Klammerausdruck zu Null werden und es folgt das lineare FE"=Gleichungssystem.
\[
  \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \tensor{\hat{r}}
\]
Gelöst wird das Gleichungssystem nach
\[
  \tensor{\hat{u}} = \tensor{K}^{-1} \tensor{\hat{r}}
\]
wobei vorher das noch singuläre FE"=Gleichungssystem
mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert.
%\[
%  \tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
%\]
Genauer wird zwischen unbekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{a}\) und bekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{b} = \tensor{\hat{u}}_0\) unterschieden.
Das Gleichungssystem lässt sich mit diesen Bezeichnungen wie folgt umschreiben
\[
  \begin{bmatrix}
    \tensor{K}\ti{aa} & \tensor{K}\ti{ab} \\
    \tensor{K}\ti{ab}^\T & \tensor{K}\ti{bb}
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \tensor{\hat{u}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{u}}\ti{b}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \tensor{\hat{r}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{r}}\ti{b}
  \end{bmatrix}
\]
Für die unbekannte Verschiebung gilt nun
\[
  \tensor{\hat{u}}\ti{a} = \tensor{K}\ti{aa}^{-1} \left( \tensor{\hat{r}}\ti{a} - \tensor{K}\ti{ab}\tensor{\hat{u}}\ti{b} \right)
\]
Dieses Gleichungssystem stellt das reduzierte Gleichungssystem dar.

Mit den ermittelten Verschiebungen können nun auch die unbekannten Knotenkräfte beziehungsweise Reaktionskräfte berechnet werden.
\[
  \tensor{\hat{r}}\ti{b} = \tensor{K}\ti{ab}^\T\tensor{\hat{u}}\ti{a} + \tensor{K}\ti{bb}\tensor{\hat{u}}\ti{b}
\]


\subsubsection{Dynamische Analysen}
Im Gegensatz zu dem statischen Fall~\(\tensorI{u}(\tensorI{x})\) sind bei dynamischen zeitabhängigen Problemen~\(\tensorI{u}(\tensorI{x},t)\) -- die Bewegungen beschreiben -- Trägheitskräfte \(\rho\tensorI{\ddt{u}}\) zu berücksichtigen.
Diese Trägheitskräfte wirken entgegengesetzt zur angenommenen Bewegungsrichtung.
Damit lautet die starke Form des Gleichgewicht oder der allgemeine dynamische Impulsbilanz für ein Materialpunkt
\[
  \begin{Array}{rlll}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in v ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\
    \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial v_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\
    \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial v_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
    &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial v_1 \cup \partial v_2 = \partial v ~\text{und}~\partial v_1 \cap \partial v_2 = \emptyset.}
  \end{Array}
\]
Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall.

Sind geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskräfte zu simulieren, ist in der partiellen Differentialgleichung ein weiterer Dämpfungsterm \(d\tensorI{\dt{u}}\) zu berücksichtigen
\[
  \begin{Array}{rlll}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} + d\tensorI{\dt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in v ~\wedge~ \forall t \in [0,T]
  \end{Array}
\]

Zu den Anfangsbedingungen gehören
\[
  \begin{Array}{rlll}
  \tensorI{u}(\tensorI{x},0) = \tensorI{u}_0 \\
  \tensorI{\dt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\dt{u}}_0 \\
  \tensorI{\ddt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\ddt{u}}_0 \\
  \end{Array}
\]
Da diese möglichen Anfangsbedingungen nicht unabhängig voneinander sind, werden nur zwei der drei Anfangsbedingungen je Materialpunkt vorgeschrieben.
Die verbleibende Größe ergibt sich aus der Auswertung der partiellen Differentialgleichung zum Zeitpunkt \(t=0\).

\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall
\[
  \int\limits_{v}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif v + \!\!\int\limits_v\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v + \!\!\int\limits_v\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v
  = \!\!\int\limits_v\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif v + \!\!\int\limits_{\partial v_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif a 
%  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i 
  \quad \forall t \in [0,T]
\]


\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
Bis auf den zweiten und dritten Term der linken Seite der Bewegungsdifferentialgleichung sind für die Terme die Partitionierung, Approximation und Assemblierung mit \(\rho\tensorI{b} = \tensorI{f}\) im statischen Fall für das Randwertproblem mit kleinen Verformungen gezeigt. Die Beschreibung für den zweiten und dritten Term der linken Seite erfolgt (mit \(v = V\)) analog
\[
  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
  \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
  \sum\limits_{(e)}\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = 
  \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T\rho\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \tensor{\hat{\ddt{u}}} \\[1.5em]
  &\displaystyle = \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{M}^{(e)}\tensor{\hat{\ddt{u}}} \quad \text{mit }\tensor{M}^{(e)} = \rho\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \\[1em]
  &\displaystyle = \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} \quad \text{mit } \tensor{M} = \sum\limits_{(e)}\tensor{M}^{(e)}
  \end{Array}
\]
sowie
\[
  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
  \!\!\int\limits_V\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
  \sum\limits_{(e)}\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = 
  \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T d\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \tensor{\hat{\dt{u}}} \\[1.5em]
  &\displaystyle = \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{D}^{(e)}\tensor{\hat{\dt{u}}} \quad \text{mit }\tensor{D}^{(e)} = d\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \\[1em]
  &\displaystyle = \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}} \quad \text{mit } \tensor{D} = \sum\limits_{(e)}\tensor{D}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Mit dem gleichen Variationsargument resultiert das halbdiskrete Bewegungsgleichungssystem
\[
  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}(t) + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}(t) + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\hat{r}}(t)
\]
Mit \(\tensor{M}\) als Massenmatrix, \(\tensor{D}\) als Dämpfungsmatrix und \(\tensor{K}\) als Steifigkeitsmatrix sowie \(\tensor{\hat{r}}\) als Lastvektor.


\paragraph{Dämpfung}~\\
Der allgemeine Dämpfungsansatz erfolgt, wie gezeigt, in gleicherweise wie die Steifigkeitsmatrix und Massenmatrix durch Überlagerung von Elementmatrizen.
Dies entspricht den konstruktiven Einbau von Dämpfer als diskrete Dämpferelemente, die mit bekannte Dämpfungskonstante \(d\) berücksichtigt werden, 
und führt allgemeinen zu einer beliebigen Struktur der Dämpfungsmatrix.
Sind hingegen Strukturdämpfung oder Umgebungseinflüsse wie zum Beispiel Reibung zwischen zwei Reibpartner zu berücksichtigen, werden diese zumeist als proportionale Dämpfung berücksichtigt. Mit Reibpartner sind Reibungsvorgängen zwischen zwei Festkörper oder zwischen Festkörper und Fluid gemeint.

Bei der Verwendung von proportionaler Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese oder \textsc{Rayleigh}"=Dämpfung bekannt -- wird die Dämpfungsmatrix als Linearkombination von Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix beschrieben
\[
  \tensor{D} = \alpha\tensor{M} + \beta\tensor{K}
\]
Die massenproportionale Dämpfung \(\alpha\tensor{M}\) wirkt besonders auf die unteren Eigenfrequenzen und kann als äußere Dämpfung interpretiert werden, wie beispielsweise die Dämpfung durch ein umgebendes Medium.
Die steifigkeitsproportionale Dämpfung \(\beta\tensor{K}\) wirkt hingegen besonders auf die höheren Eigenfrequenzen und kann, aufgrund der Abhängigkeit mit der elastischen Verformung, als innere Dämpfung interpretiert werden.
\cite{femp08}

%[[Dieser Ansatz wird nicht zuletzt auch wegen der Diagonalisierbarkeit der Dämpfungsmatrix verwendet]]

\paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
Wichtige Informationen zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens einer Struktur sind Eigenfrequenzen und Eigenformen.
Hierzu wird das sogenannten Eigenschwingungsproblem untersucht, wobei \(\tensor{\hat{r}}(t)=0\) gilt.
Mit der Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung 
\[
  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{0}
\]
sowie das Einsetzen des harmonischen Lösungsansatzes
\[
  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
\]
in die Differentialgleichung, liefert das (reelle) Eigenwertproblem
\[
  (-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2 
\]
wobei allgemein \(\euler^{\im\omega t} \neq 0 \) gilt.
Für die nichttriviale Lösung folgt die charakteristische Gleichung
\[
  \det{(\tensor{K}-\lambda\tensor{M})} = 0 
\]
Hierin sind \(\lambda_i\) die Eigenwerte und \(\omega_i\) die Eigenkreisfrequenzen sowie \(f_i=\frac{\omega_i}{2\pi}\) die Eigenfrequenzen und \(\tensor{\phi}_i\) die Eigenvektoren beziehungsweise Eigenmoden.
Jeder Eigenwert \(\lambda_i\) entspricht eine nichttriviale Lösung mit den Eigenvektor \(\tensor{\phi}_i\).
\[
  (\tensor{K} - \lambda_i \tensor{M}) \tensor{\phi}_i = \tensor{0}
\]
Die Eigenvektoren sind bezüglich der Steifigkeitsmatrix und der Massenmatrix orthogonal und es gilt
\[
  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
  \tensor{\phi}_i^\T \tensor{M} \tensor{\phi}_j = 0~, &\quad \tensor{\phi}_i^\T \tensor{M} \tensor{\phi}_i = \tilde{m}_i~, \\
  \tensor{\phi}_i^\T \tensor{K} \tensor{\phi}_j = 0~, &\quad \tensor{\phi}_i^\T \tensor{K} \tensor{\phi}_i = \tilde{k}_i~.
  \end{Array}
\]
wobei \(\tilde{m}_i\) modale Massen und \(\tilde{k}_i\) modale Steifigkeiten sind.
Beziehungsweise beschreibt die modale Matrix \(\tensor{\Phi}=[\phi_1 ~ \phi_2 ~ \cdots ~ \phi_n]\), in der spaltenweise die Eigenvektoren angeordnet sind, die modale Transformation der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix in Diagonalmatrizen, der sogenannten modalen Massenmatrix sowie modalen Steifigkeitsmatrix.
\[
  \tensor{\tilde{M}} = \tensor{\Phi}^\T\tensor{M}\tensor{\Phi} \quad\text{und}\quad
  \tensor{\tilde{K}} = \tensor{\Phi}^\T\tensor{K}\tensor{\Phi} 
\]
Eingesetzt in das System von Differentialgleichung und Linksmultiplikation von \(\tensor{\Phi}^\T\) ergibt eine völlige Entkoppelung in einzelne unabhängige Differentialgleichungen
%\[
%  \tensor{\Phi}^\T\tensor{M}\tensor{\Phi}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\Phi}^\T\tensor{K}\tensor{\Phi}\tensor{q} = 0
%  \quad\text{bzw.}\quad
%  \tilde{m}_i q_i + \tilde{k}_i q_i = 0~, \quad i=1,\ldots,n
%\]
\[
  \tensor{\tilde{M}}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\tilde{K}}\tensor{q} = 0
  \quad\text{bzw.}\quad
  \tilde{m}_i \ddt{q}_i + \tilde{k}_i q_i = 0~, \quad i=1,\ldots,n
\]
Hierin verknüpft die Vektortransformation beziehungsweise Rücktransformation
\[
  \tensor{q}(t) = \tensor{\Phi}^\T\tensor{\hat{u}}(t)
  \quad\text{bzw.}\quad
  \tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\Phi}\tensor{q}(t)
\]
die physikalischen Koordinaten \(\tensor{\hat{u}}(t)\) mit den modalen Koordinaten \(\tensor{q}(t)\).

Ist hingegen eine Dämpfung zu berücksichtigen, 
kann unter bestimmten Bedingungen weiter mit den Eigenvektoren des ungedämpften Systems gerechnet werden und
das System bleibt modal entkoppelt
\[
  \tensor{\tilde{M}}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\tilde{D}}\tensor{\dt{q}} + \tensor{\tilde{K}}\tensor{q} = 0
  \quad\text{bzw.}\quad
  \tilde{m}_i \ddt{q}_i + \tilde{d}_i \dt{q}_i + \tilde{k}_i q_i = 0~, \quad i=1,\ldots,n
\]
mit der modalen Dämpfungsmatrix
\[
  \tensor{\tilde{D}} = \tensor{\Phi}^\T\tensor{D}\tensor{\Phi}
  \quad\text{bzw.}\quad
  \tilde{d}_i = \tensor{\phi}_i^\T\tensor{D}\tensor{\phi}_i
  \quad\wedge\quad
  0 = \tensor{\phi}_i^\T\tensor{D}\tensor{\phi}_j
\]
Für die modale Entkopplung muss beispielsweise die Dämpfung entweder direkt in den modalen Koordinaten eingegeben oder wie oben bereits angedeutet nach \textsc{Rayleigh} proportional zu der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix beschrieben werden.
Die erste Variante gibt direkt eine diagonale Dämpfungsmatrix in den modalen Koordinaten vor. Die zweite Variante liefert eine diagonale Dämpfungsmatrix aus dem Wissen dass die Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix diagonalisiert werden und damit auch die proportionale Überlagerung beider.

Im Falle einer beliebigen Dämpfungsmatrix führt die Differentialgleichung einer gedämpften freien Schwingung mit dem exponentiellen Lösungsansatzes
\[
  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\phi}\euler^{\lambda t}
\]
zu einem quadratischen Eigenwertproblem
\[
  (\lambda^2\tensor{M} + \lambda\tensor{D} + \tensor{K})\tensor{\phi} = \tensor{0}
\]
Als Lösung ergeben sich konjugiert komplexe Eigenwerte und komplexe Eigenvektoren, wobei die Eigenvektoren, entgegen der ungedämpften Schwingung, nicht orthogonal zu der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix sind.
Sind von allen Eigenwerten die Realanteile negativ liegt eine gedämpfte Schwingung vor, wobei der Realteil des Eigenwertes die Abklingkonstante und der Imaginärteil des Eigenwertes die Eigenkreisfrequenz der Schwingung darstellt.
Im Falle von positiven Realteilen ist das System instabil und die Amplituden nehmen über der Zeit immer größere Werte an.

%[[Modale Superposition, ggf. Effektive Massen]]

\paragraph{Transiente Analyse}~\\
Neben der Volumendiskretisierung wird, für die Zeitintegration von transienten Feldgleichungen, das zu untersuchende Zeitintervall in diskrete Zeitabschnitte \(\Delta t\) unterteilt
\[
  [0,T] = \bigcup \Delta t \quad \text{mit } \Delta t = t_{n+1} - t_n
\]
Für das halbdiskrete zeitlich abhängige FE"=Gleichungssystem zum Zeitpunkt \(t_{n+1}\)
\[
  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}_{n+1} = \tensor{\hat{r}}_{n+1}
\]
erfolgt die Einschritt"=Zeitintegration beispielsweise nach \citeauthor{newmark59}~\cite{newmark59} mit aktualisierter Verschiebung und Geschwindigkeit
\[
  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
  \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} +  \left[ (1-\delta)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \delta\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t \\[1em]\displaystyle
  \tensor{\hat{u}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{u}}_{n} + \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n}\Delta t + \left[ \left(\frac{1}{2}-\alpha \right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \alpha\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t^2 
  \end{Array}
\]
worin \(\alpha\) und \(\delta\) Newmark"=Parameter sowie
\(\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}, \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n}, \tensor{\hat{u}}_{n}\) die bekannten Knotenbeschleunigung, Knotengeschwindigkeit und Knotenverschiebung zum Zeitpunkt \(t_n\) sind.
Die Umschreibung des Gleichungssystem erfolgt nach einsetzen zu
\[
  \begin{Array}{llll} \displaystyle
  \left[\frac{1}{\alpha\,\Delta t^2} \tensor{M} +
  \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t} \tensor{D} + \tensor{K}\right]\tensor{\hat{u}}_{n+1} =\\[1em]
  \displaystyle \tensor{\hat{r}}_{n+1} +
  \tensor{M}\left[ \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\tensor{\hat{u}}_{n} + \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} \right] +
  \tensor{D}\left[ \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{u}}_{n} + \left(\frac{\delta}{\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \frac{\Delta t}{2}\left(\frac{\delta}{\alpha}-2\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} \right]
  \end{Array}
\]
Mit der jetzigen Kenntnis von \(\tensor{\hat{u}}_{n+1}\) können mit den folgenden Gleichungen \(\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1}\) und \(\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1}\) bestimmt werden
\[
  \begin{Array}{llll} \displaystyle
  \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} = \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t}\left(\tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n}\right) - \left(\frac{\delta}{\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \frac{\Delta t}{2}\left(\frac{\delta}{\alpha}-2\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}
  \\[1em] \displaystyle
  \tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} = \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\left( \tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n} \right) - \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}
  \end{Array}
\]
Die Stabilität und Genauigkeit beziehungsweise die numerischen Dämpfung wird mit dem \textsc{Newmark}"=Parameter \(\delta\) beziehungsweise mit \(\delta\) und \(\alpha\) gesteuert
\[
  \delta\geq\frac{1}{2}~,\quad \alpha\geq\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\delta\right)^2
\]
Erfüllen die \textsc{Newmark}"=Parameter die obigen Bedingungen ist das Verfahren unbedingt stabil.\cite{hughes87}
Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der \textsc{Newmark}"=Methode eine Abklingkonstante \(\gamma\geq 0\) eingeführt, lassen sich die \textsc{Newmark}"=Parameter in Abhängigkeit der Abklingkonstante beschreiben
\[
  \delta = \frac{1}{2}+\gamma~,\quad
  \alpha = \frac{1}{4}(1+\gamma)^2~,\quad
  \gamma \geq 0
\]

Kann das halbdiskrete FE"=Gleichungssystem modal entkoppelt werden
\[
  \tensor{\tilde{M}}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\tilde{D}}\tensor{\dt{q}} + \tensor{\tilde{K}}\tensor{q} = \tensor{\tilde{r}}
  \quad\text{bzw.}\quad
  \tilde{m}_i \ddt{q}_i + \tilde{d}_i \dt{q}_i + \tilde{k}_i q_i = \tilde{r}_i ~, \quad i=1,\ldots,p \leq n
\]
mit den in modalen Koordinaten beschriebenen Lasten
\[
  \tensor{\tilde{r}}(t) = \tensor{\Phi}^\T \tensor{\hat{r}}(t)
\]
kann die Methode der \emph{modalen Superposition} genutzt werde.
Vorerst werden mit der numerischen Zeitintegration nach \textsc{Newmark} die modalen Koordinaten bestimmt und anschließend diese in die physikalischen Koordinaten rücktransformiert.
\[
  \tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\Phi} \tensor{q}(t) = \sum \tensor{\phi}_i q_i(t)
\]
In der Regel werden von den \(n\) Gleichungen die ersten \(o\) Eigenfrequenzen und Eigenformen berechnet und dabei die höheren Eigenmoden vernachlässigt.
Bei strukturdynamische Probleme beschreiben zumeist die niedrigen Moden das Verhalten der Struktur.
Aus diesem Grund werden von den \(o\) berechneten Moden oftmals die ersten \(p\) Eigenfrequenzen und Eigenformen mitgenommen.
Der Vorteil der Berechnung des Gleichungssystems mit der modalen Superposition liegt zum einen an das entkoppelte Gleichungssystems und zum anderen an der unvollständigen Transformation (\(\tensor{\Phi}_{n\times p}, p < n\)) des Gleichungssystems, wobei, gegenüber dem vollen Gleichungssystem, weniger Differentialgleichungen gelöst werden. 

Zur genaueren Beschreibung von \glqq in der Regel\grqq\ und \glqq oftmals\grqq , für die unvollständige Transformation beziehungsweise der gewählten Anzahl von Moden \(p < n\), sollte auf eine Systemanregung von mindesten 85 bis 90 Prozent der Gesamtmasse \(m\ti{ges}\) je Raumrichtung geachtet werden. 
\[
  \sum\limits_{i=1}^p m_{ik}\ho{eff} \approx m\ti{ges}
\]
Hierin ist \(m_{ik}\ho{eff}\) die \emph{effektive Masse} zu der  \(i\)"=ten Mode und der \(k\)"=ten Raumrichtung.
Berechnet wird die effektive Masse mit der modalen Masse und den zugehörigen \emph{modalen Beteiligungsfaktor} \(\Gamma_{ik}\) \cite{clough03} % ANSYS 15.7.7. Effective Mass and Cumulative Mass Fraction
\[
  m_{ik}\ho{eff} = \tilde{m}_i \Gamma_{ik}^2
\]
Der modale Beteiligungsfaktor \(\Gamma_{ik}\) gibt mit der folgenden Beziehung
\[
  \Gamma_{ik} = \frac{1}{\tilde{m}_i} \tensor{\phi}_i \tensor{M} \tensor{d}_k
\]
an, wie groß der Anteil einzelner Moden je Raumrichtung ist.
Hierin beschreibt \(d_k\) die Starrkörperbewegung des Systems in die Richtung von \(k\).
Soll beispielsweise, für ein globales System mit den globalen Freiheitsgraden \(xyz\), die \(x\)"=Richtung beurteilt werden, nimmt der Vektor zur Beschreibung der Starrkörperbewegung folgenden Form an
\[
  \tensor{d}_k = \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0
  \end{bmatrix}^\T
\]


%\paragraph{Stationäre Analyse}~\\


\subsection{Faserverbundwerkstoffe}
Faserverbundwerkstoffe sind auf makroskopischer Ebene eine Kombination von mehreren Materialien.
Ihr Vorteil liegt bei geeigneter Gestaltung darin, dass positive Eigenschaften der einzelnen Komponenten und mitunter auch Eigenschaften die nur in Kombinationen auftreten hervorgebracht werden.
Unterschieden wird bei Faserverbundwerkstoffen zwischen Werkstoffe die
aus einer Matrix mit eingebetteten Fasern und 
aus Laminate, die aus mehreren Schichten von Materialien verbunden sind,
bestehen. 
Sowohl die Faserarchitektur als auch der Laminataufbau haben signifikanten Einfluss auf das makroskopische Werkstoffverhalten.

In den nachfolgenden Unterabschnitte wird gezeigt wie das Werkstoffverhalten von Faserverbundwerkstoffen beschrieben werden kann.
Grundlage dieses Abschnittes bildet dabei das Werke \citetitle{ermanni04} von \citeauthor{ermanni04}~\cite{ermanni04}.

\subsubsection{Werkstoffgesetze}
Das im Abschnitt zur Strukturmechanik~\ref{statik} aufgezeigt Materialgesetzt mit 21 unabhängigen Elastizitätskonstanten, beschreibt ein anisotropes Materialgesetz.
Weist das Material geometrische Symmetrieeigenschaften auf, wie es beispielsweise bei Laminataufbauten der Fall ist, verringert sich die Anzahl von unabhängigen Materialparameter weiter.

\paragraph{Symmetrieeigenschaften}~\\
Bei der Existenz einer Symmetrieebene, reduziert sich die Anzahl von unabhängigen Elastizitätskonstanten auf dreizehn.
Hierbei wird von monoklinem Materialverhalten gesprochen.
Bei der Existenz von zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieebenen, wobei dann auch eine dritte Symmetrieebene die ebenfalls senkrecht zu den anderen beiden Ebenen existiert, wird das Material durch neun unabhängigen Elastizitätskonstanten beschrieben.
Es wird hierbei von einem orthotropen Material gesprochen.
Sind nun weiter die Materialeigenschaften in einer Ebene richtungsunabhängig, wird von transversal isotropen Material gesprochen.
Ein solches Material wird mit fünf unabhängigen Elastizitätskonstanten beschrieben.  
In guter Näherung sind unidirektional Faserverbundwerkstoffe transversal isotrop.
Denn die Materialeigenschaften sind, senkrecht zu der Faserverstärkung, in allen Richtungen gleich.

\paragraph{Materialgesetze}~\\
Liegt einem durch drei Einheitsvektoren beschriebenes System eine Symmetrieebene, beispielsweise zu der dritten Richtung, vor
\[
  \tensorI{e}_1^\prime =  \tensorI{e}_1 ~,\quad 
  \tensorI{e}_2^\prime =  \tensorI{e}_2 ~,\quad 
  \tensorI{e}_3^\prime = -\tensorI{e}_3 ~,
  \qquad \text{bzw.}\quad \tensor{Q} = \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & -1
  \end{bmatrix}
  \quad\text{mit } Q_{ij} = \tensorI{e}_i^\prime \cdot \tensorI{e}_j
\]
so gilt für die Verzerrungen
\[
  \begin{Array}{llll} \displaystyle
  \varepsilon_1^\prime =  \varepsilon_1 = \varepsilon_{11} ~, &\quad
  \varepsilon_2^\prime =  \varepsilon_2 = \varepsilon_{22} ~, &\quad
  \varepsilon_3^\prime =  \varepsilon_3 = \varepsilon_{33} ~, \\
  \varepsilon_4^\prime = -\varepsilon_4 = -2\varepsilon_{23} ~, &\quad
  \varepsilon_5^\prime = -\varepsilon_5 = -2\varepsilon_{13} ~, &\quad
  \varepsilon_6^\prime =  \varepsilon_6 = 2\varepsilon_{12} ~.
  \end{Array}
\]
mit der Transformationsbeziehung für Tensoren
\[
  \tensorII{\varepsilon}^\prime = \tensor{Q}\tensorII{\varepsilon}\tensor{Q}^\T \quad\text{bzw.}\quad
  \varepsilon_{kl}^\prime = q_{ki} q_{lj} \varepsilon_{ij}
\]
Für die Formänderungsenergiedichte folgt
\[
  \begin{Array}{llll} \displaystyle
  2 w\ti{f} & \displaystyle = \begin{Bmatrix}
  \phantom{+}C_{11}\varepsilon_1\varepsilon_1
  + C_{12}\varepsilon_1\varepsilon_2
  + C_{13}\varepsilon_1\varepsilon_3
  + C_{14}\varepsilon_1\varepsilon_4
  + C_{15}\varepsilon_1\varepsilon_5
  + C_{16}\varepsilon_1\varepsilon_6 \\
  + C_{21}\varepsilon_2\varepsilon_1
  + C_{22}\varepsilon_2\varepsilon_2
  + C_{23}\varepsilon_2\varepsilon_3
  + C_{24}\varepsilon_2\varepsilon_4
  + C_{25}\varepsilon_2\varepsilon_5
  + C_{26}\varepsilon_2\varepsilon_6 \\
  + C_{31}\varepsilon_3\varepsilon_1
  + C_{32}\varepsilon_3\varepsilon_2
  + C_{33}\varepsilon_3\varepsilon_3
  + C_{34}\varepsilon_3\varepsilon_4
  + C_{35}\varepsilon_3\varepsilon_5
  + C_{36}\varepsilon_3\varepsilon_6 \\
  + C_{41}\varepsilon_4\varepsilon_1
  + C_{42}\varepsilon_4\varepsilon_2
  + C_{43}\varepsilon_4\varepsilon_3
  + C_{44}\varepsilon_4\varepsilon_4
  + C_{45}\varepsilon_4\varepsilon_5
  + C_{46}\varepsilon_4\varepsilon_6 \\
  + C_{51}\varepsilon_5\varepsilon_1
  + C_{52}\varepsilon_5\varepsilon_2
  + C_{53}\varepsilon_5\varepsilon_3
  + C_{54}\varepsilon_5\varepsilon_4
  + C_{55}\varepsilon_5\varepsilon_5
  + C_{56}\varepsilon_5\varepsilon_6 \\
  + C_{61}\varepsilon_6\varepsilon_1
  + C_{62}\varepsilon_6\varepsilon_2
  + C_{63}\varepsilon_6\varepsilon_3
  + C_{64}\varepsilon_6\varepsilon_4
  + C_{65}\varepsilon_6\varepsilon_5
  + C_{66}\varepsilon_6\varepsilon_6 
  \end{Bmatrix} \\[3.5em]
  & \displaystyle = \begin{Bmatrix}
  \phantom{+}C_{11}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_1^\prime
  + C_{12}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_2^\prime
  + C_{13}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_3^\prime
  - C_{14}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_4^\prime
  - C_{15}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_5^\prime
  + C_{16}\varepsilon_1^\prime\varepsilon_6^\prime \\
  + C_{21}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_1^\prime
  + C_{22}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_2^\prime
  + C_{23}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_3^\prime
  - C_{24}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_4^\prime
  - C_{25}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_5^\prime
  + C_{26}\varepsilon_2^\prime\varepsilon_6^\prime \\
  + C_{31}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_1^\prime
  + C_{32}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_2^\prime
  + C_{33}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_3^\prime
  - C_{34}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_4^\prime
  - C_{35}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_5^\prime
  + C_{36}\varepsilon_3^\prime\varepsilon_6^\prime \\
  - C_{41}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_1^\prime
  - C_{42}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_2^\prime
  - C_{43}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_3^\prime
  + C_{44}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_4^\prime
  + C_{45}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_5^\prime
  - C_{46}\varepsilon_4^\prime\varepsilon_6^\prime \\
  - C_{51}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_1^\prime
  - C_{52}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_2^\prime
  - C_{53}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_3^\prime
  + C_{54}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_4^\prime
  + C_{55}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_5^\prime
  - C_{56}\varepsilon_5^\prime\varepsilon_6^\prime \\
  + C_{61}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_1^\prime
  + C_{62}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_2^\prime
  + C_{63}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_3^\prime
  - C_{64}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_4^\prime
  - C_{65}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_5^\prime
  + C_{66}\varepsilon_6^\prime\varepsilon_6^\prime 
  \end{Bmatrix} 
  \end{Array}
\]
Aufgrund der Gleichheitsbedingung müssen die Elastizitätskonstanten mit verschiedenen Vorzeichen verschwinden.
Dabei nimmt das Materialgesetz folgende Form an
\[
  \tensor{C}\ti{monoklin} = \begin{bmatrix}
    C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0      & 0      & C_{16} \\
    C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0      & 0      & C_{26} \\
    C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0      & 0      & C_{36} \\
    0      & 0      & 0      & C_{44} & C_{45} & 0      \\
    0      & 0      & 0      & C_{45} & C_{55} & 0      \\
    C_{16} & C_{26} & C_{36} & 0      & 0      & C_{66} \\
  \end{bmatrix}
\]
Für orthotrope Materialien folgt analog 
\[
  \tensor{C}\ti{orthotrop} = \begin{bmatrix}
    C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0      & 0      & 0      \\
    C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0      & 0      & 0      \\
    C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0      & 0      & 0      \\
    0      & 0      & 0      & C_{44} & 0      & 0      \\
    0      & 0      & 0      & 0      & C_{55} & 0      \\
    0      & 0      & 0      & 0      & 0      & C_{66} \\
  \end{bmatrix}
\]
Ist das orthotrope Material nun gegenüber einer beliebigen Drehung um eine Achse invariant, gelten folgende vier Beziehungen zwischen den elastischen Konstanten mit der \(x_1\)-Achse als ausgezeichnete Hauptrichtung.
\[
  C_{33}=C_{22} ~,\quad
  C_{13}=C_{12} ~,\quad
  C_{66}=C_{55} ~,\quad
  C_{11}=\frac{1}{2}(C_{22}-C_{23})
\]
Im isotropen Materialverhalten gelten hingegen folgende Beziehungen
\[
  C_{33}=C_{22}=C_{11} ~,\quad
  C_{12}=C_{13}=C_{23} ~,\quad
  C_{66}=C_{55}=C_{44}=\frac{1}{2}(C_{11}-C_{12})
\]


\paragraph{Steifigkeitsmatrix}~\\
Für die Beschreibung der Steifigkeitsmatrix \(\tensor{C}\)  
in Abhängigkeit von Elastizitäts"= \(E\) und Schubmoduln \(G\) sowie von Poissonzahlen \(\nu\) wird zunächst mit gedachter Steifigkeitsmessung die inverse Beziehung, die Nachgiebigkeit bestimmt.
\[
  \tensor{\varepsilon} = \tensor{S} \tensor{\sigma}
\]
Hierin ist \(\tensor{S}=\tensor{C}^{-1}\) die Nachgiebigkeitsmatrix.
Ausführlich nimmt die Beziehung für orthotrope Materialien folgende Gestalt an
\[
  \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{3} \\ \varepsilon\ti{4} \\ \varepsilon\ti{5} \\ \varepsilon\ti{6}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    S_{11} & S_{12} & S_{13} & 0      & 0      & 0      \\
    S_{12} & S_{22} & S_{23} & 0      & 0      & 0      \\
    S_{13} & S_{23} & S_{33} & 0      & 0      & 0      \\
    0      & 0      & 0      & S_{44} & 0      & 0      \\
    0      & 0      & 0      & 0      & S_{55} & 0      \\
    0      & 0      & 0      & 0      & 0      & S_{66} \\
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6}
  \end{bmatrix} 
\] 
Infolge des Zugversuchs, wobei die Längsrichtung der Probe mit der ersten Hauptrichtung identisch ist, besteht folgender einachsiger Spannungszustand
\[
  \tensor{\sigma} = \begin{bmatrix}
    \sigma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
  \end{bmatrix}^\T
\]
Die Probe hingegen reagiert mit folgenden Dehnungszustand
\[
  \tensor{\sigma} = \begin{bmatrix}
    \varepsilon_1 & \varepsilon_2 & \varepsilon_3 & 0 & 0 & 0
  \end{bmatrix}^\T
\]
Und es ergeben sich folgende Beziehungen
\[
  S_{11} = \frac{\varepsilon_1}{\sigma_1} = \frac{1}{E_1} ~,\quad
  S_{21} = \frac{\varepsilon_2}{\sigma_1} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\frac{1}{E_1} = -\frac{\nu_{12}}{E_1} ~,\quad
  S_{31} = \frac{\varepsilon_3}{\sigma_1} = \frac{\varepsilon_3}{\varepsilon_1}\frac{1}{E_1} = -\frac{\nu_{13}}{E_1}
  ~,\quad\text{mit } \nu_{ij}=-\frac{\varepsilon_j}{\varepsilon_i}
\]
Auf gleicher Weise erfolgen in der zweiten und dritten Hauptrichtungen analoge Beziehungen.
Ebenso könne reine Schubspannungszustände simuliert werden.
Das Resultat ist die folgende Nachgiebigkeitsmatrix
\[
  \tensor{S}\ti{orthotrop} = \begin{bmatrix}
    \Faktor{1\!}{E_1} & -\Faktor{\nu_{21}}{E_2} & -\Faktor{\nu_{31}}{E_3} & 0      & 0      & 0      \\
    -\Faktor{\nu_{12}}{E_1} & \Faktor{1\!}{E_2} & -\Faktor{\nu_{32}}{E_3} & 0      & 0      & 0      \\
    -\Faktor{\nu_{13}}{E_1} & -\Faktor{\nu_{23}}{E_2} & \Faktor{1\!}{E_3} & 0      & 0      & 0      \\
    0      & 0      & 0      & \Faktor{1\!}{G_{23}} & 0      & 0      \\
    0      & 0      & 0      & 0      & \Faktor{1\!}{G_{13}} & 0      \\
    0      & 0      & 0      & 0      & 0      & \Faktor{1\!}{G_{12}} \\
  \end{bmatrix}
\]
Für transversal isotrope Werkstoffe beziehungsweise für unidirektional verstärkte Faserverbundwerkstoffe gelten noch folgende Beziehungen
\[
  E_2=E_3=(1+\nu_{23})G_{23} ~,\quad G_{12}=G_{13} ~,\quad \nu_{12}=\nu_{13}
\]


\subsubsection{Mehrschichtentheorie}
Die wesentlichen Voraussetzung eines Laminats beziehungsweise der Theorie dünner laminierter Platten oder Mehrschichtentheorie gleichen denen der Theorie für dünne Platten.
So ist die Dicke der Platte gegenüber den Querabmessungen gering und
der senkrecht auf der Mittelfläche stehende ebene Querschnitt bleibt nach der Belastung weiterhin eben.
Ebenso verschwinden Querschubdehnungen und es liegt der ebene Spannungszustand vor. 
Weiter besteht das Laminat aus mehreren ideal miteinander verklebten Einzelschichten,
wobei die Einzelschichten aus beliebigen und unterschiedlichen Werkstoffen bestehen können.
In makroskopischen Skalen verhält sich ein Laminat wie eine homogene Platte mit speziellen Steifigkeitseigenschaften. 

\paragraph{Ebener Spannungszustand}~\\
Mit der dritten Richtung als Dickenrichtung und den Annahmen des ebenen Spannungszustandes verschwinden die Spannungen mit Bezug zur Dickenrichtung \(\sigma_3\), \(\sigma_4\) und \(\sigma_5\).
Das inverse Materialgesetz reduziert sich hierbei um die Spalten der verschwindenden Spannungen
\[
  \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{6}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \Faktor{1\!}{E_1}       & -\Faktor{\nu_{21}}{E_2} & 0  \\
    -\Faktor{\nu_{12}}{E_1} & \Faktor{1\!}{E_2}       & 0  \\
    0                       & 0      & \Faktor{1\!}{G_{12}} \\
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{6}
  \end{bmatrix}
\]
da die Dehnung in Dickenrichtung \(\varepsilon_3\) unabhängig betrachtet werden kann.
\[
  \varepsilon_3 = -\left( \frac{\nu_{13}}{E_1}\sigma_1 + \frac{\nu_{23}}{E_2}\sigma_2 \right)
\]
Schließlich ergibt sich das reduzierte Materialgesetz
%mit fehlenden Querdehnungseinflüsse der Spannungen in Dickenrichtung
zu
\[
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{6}
  \end{bmatrix} = \frac{1}{1-\nu_{12}\nu_{21}}\begin{bmatrix}
    E_1        & \nu_{21}E_1 & 0  \\
    \nu_{12}E_2 & E_2         & 0  \\
    0          & 0           & G_{12}(1-\nu_{12}\nu_{21}) \\
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{1} \\ \varepsilon\ti{2} \\ \varepsilon\ti{6}
  \end{bmatrix}
\]


\paragraph{Kinematik}~\\
Für die Beschreibung der Kinematik dünner Platten steht die Mittelfläche als Bezugs.
Wird die Platte belastet verschieben sie die Punkte der Mittelfläche im Allgemeinen sowohl in der Plattenebene \(u_0\) und \(v_0\) in den Richtungen \(x\) und \(y\) sowie normal dazu als Durchsenkung \(w_0\) in Dickenrichtung \(z\).
Die Verschiebungsbeschreibung der gesamten Platte \(u\) und \(v\) in Abhängigkeit der Dicke ist somit die Bezugsverschiebung \(u_0\) und \(v_0\) minus der Dickenrichtung \(z\) multipliziert mit der entsprechenden partiellen Ableitung der Durchsenkung \(w\ti{,x}\) und \(w\ti{,y}\).
\[
  \begin{Array}{llll} \displaystyle
  u = u_0 - z w\ti{,x} \\
  v = v_0 - z w\ti{,y} \\
  \end{Array}
\]
Mit den bekannten Zusammenhang von Dehnungen \(\varepsilon\) und Scherung \(\gamma\) zu Verschiebungen \(u\) und \(v\)
\[
  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
    \varepsilon\ti{x} &= u\ti{,x} \\
    \varepsilon\ti{y} &= u\ti{,y} \\
    \gamma\ti{xy}     &= u\ti{,y} + v\ti{,x} \\
  \end{Array}
\]
folgt die kinematische Beziehung
\[
  \begin{Array}{cccccl} \displaystyle
  \tensor{\varepsilon} &=& \tensor{\varepsilon}^0 &+& z\,\tensor{\kappa}^0 &\quad \text{bzw.} \\
  \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{x} \\ \varepsilon\ti{y} \\ \gamma\ti{xy}
  \end{bmatrix} &=& 
  \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{x}^0 \\ \varepsilon\ti{y}^0 \\ \gamma\ti{xy}^0
  \end{bmatrix} &+& z
  \begin{bmatrix}
    \kappa\ti{x}^0 \\ \kappa\ti{y}^0 \\ \kappa\ti{xy}^0
  \end{bmatrix} &
  \quad\text{mit}\quad
  \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{x}^0 \\ \varepsilon\ti{y}^0 \\ \gamma\ti{xy}^0
  \end{bmatrix} = 
  \begin{bmatrix}
    u\ti{0,x} \\ v\ti{0,y} \\ u\ti{0,y} + v\ti{0,x}
  \end{bmatrix} ~,~
  \begin{bmatrix}
    \kappa\ti{x}^0 \\ \kappa\ti{y}^0 \\ \kappa\ti{xy}^0
  \end{bmatrix} = -z
  \begin{bmatrix}
    w\ti{0,xx} \\ w\ti{0,yy} \\ 2w\ti{0,xy}
  \end{bmatrix}
  \end{Array}
\]
Hierin sind \(\tensor{\varepsilon}^0\) und \(\tensor{\kappa}^0 \) die Dehnung und Krümmungen der Plattenmittelebene.


\paragraph{Zusammenhang zwischen Linienlasten und Plattenverformungen}~\\
Aufgrund den allgemein unterschiedlichen Steifigkeiten der einzelnen Schichten und der Annahme von linear verlaufende Dehnungen über die Plattendicke, ist der Spannungsverlauf unstetig und es wird zur Beschreibung des globalen Verhaltens anstelle von Spannungen und örtliche Dehnungen hingegen die Plattenverformung~\(\tensor{\varepsilon}^0\) und \(\tensor{\kappa}^0\) der Plattentheorie mit auf der Bezugsfläche bezogenen Linienkräfte~\(\tensor{N}\) und Linienmomente~\(\tensor{M}\) benutzt.

Aus dem Integral der Spannungen über die Dicke \(t\) des Laminats folgen die Linienkräfte
\[
  \tensor{N} = \!\int\limits_{-\Faktor{t\!}{2}}^{\Faktor{t\!}{2}}\!\! \tensor{\sigma} \dif z 
  \qquad
  \text{mit } \tensor{N} = 
  \begin{bmatrix}
    N\ti{x} \\ N\ti{y} \\ N\ti{xy}
  \end{bmatrix} ~,~ \tensor{\sigma} =
  \begin{bmatrix}
    \sigma\ti{x} \\ \sigma\ti{y} \\ \sigma\ti{xy}
  \end{bmatrix}
\]
Aus dem Integral mit dem Abstand zur Mittelfläche gewichteten Spannungen über die Dicke des Laminats folgen die Linienmomente
\[
  \tensor{M} = \!\int\limits_{-\Faktor{t\!}{2}}^{\Faktor{t\!}{2}}\!\! \tensor{\sigma} z \dif z 
  \qquad
  \text{mit } \tensor{M} = 
  \begin{bmatrix}
    M\ti{x} \\ M\ti{y} \\ M\ti{xy}
  \end{bmatrix}
  \qquad
\]
Aufgrund den unterschiedlichen Schichten \(k\) mit jeweiligen Dicken \(h_k\) sind für die Linienlasten und Linienmomente über die einzelnen Schichten zu integrieren und anschließend über alle \(n\) Schichten zu summieren.
Dabei ist die Summe aller Einzelschichtdicken~\(h_k\) die Laminatdicke~\(t\)
\[
  \sum\limits_{k=1}^n h_k = t
\]
Mit Bezug zur Dickenrichtung \(z\) wird die Unterseite der \(k\)-ten Schicht mit \(z_{k-1}\) und die Oberseite mit \(z_{k}\) bezeichnet.
Die untere Oberfläche des Laminats ist somit \(z_0=-t/2\) und die obere \(z_n = t/2\).

Mit dem Werkstoffgesetz und der kinematischen Beziehungen folgt für die Linienkräfte
\[
  \tensor{N} = \!\int\limits_{-\Faktor{t\!}{2}}^{\Faktor{t\!}{2}}\!\! \tensor{\sigma} \dif z
  = \sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \!\!\!\int\limits_{z_{k-1}}^{z_k}\!\!\! \tensor{\varepsilon} \dif z
  = \sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \!\!\!\int\limits_{z_{k-1}}^{z_k}\!\!\! (\tensor{\varepsilon}^0 + z\,\tensor{\kappa}^0) \dif z
  = \sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \left[ (z_k - z_{k-1})\tensor{\varepsilon}^0 + \frac{1}{2}(z_k^2 - z_{k-1}^2)\tensor{\kappa}^0 \right]
\]
und die Linienmomente
\[
  \tensor{M}\! = \!\!\!\!\int\limits_{-\Faktor{t\!}{2}}^{\Faktor{t\!}{2}}\!\!\!\! \tensor{\sigma} z \dif z
  = \!\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \!\!\!\int\limits_{z_{k-1}}^{z_k}\!\!\! \tensor{\varepsilon} z \dif z
  = \!\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \!\!\!\int\limits_{z_{k-1}}^{z_k}\!\!\! (\tensor{\varepsilon}^0 \!+ z\,\tensor{\kappa}^0) z \dif z
  = \!\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k \left[ \frac{1}{2}(z_k^2 - z_{k-1}^2)\tensor{\varepsilon}^0 \!+ \frac{1}{3}(z_k^3 - z_{k-1}^3)\tensor{\kappa}^0 \right]
\]
Hierin ist \( \tensor{\overline{C}} = \tensor{Q}^{-1} \tensor{C} \tensor{R} \tensor{Q}^{-1} \tensor{R}^{-1} \) mit der Transformationsmatrix~\(\tensor{Q}\) und der \textsc{Reuter}"=Matrix~\(\tensor{R}\)
\[
  \tensor{Q} = \begin{bmatrix}
    \cos^2\vartheta & \sin^2\vartheta &  2\sin\vartheta\cos\vartheta \\
    \sin^2\vartheta & \cos^2\vartheta & -2\sin\vartheta\cos\vartheta \\
    -\sin\vartheta\cos\vartheta & \sin\vartheta\cos\vartheta & \cos^2\vartheta - \sin^2\vartheta
  \end{bmatrix} ~,
  \quad \tensor{R} = \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2
  \end{bmatrix}
\]
die transformierte Steifigkeitsmatrix von den Materialhauptachsensystem~123 in das Bezugssystem~\(xyz\). Gedreht wird hierbei mit dem Winkel \(\vartheta\), die dritte Achse sowie die \(z\)-Achse sind stets gleichgerichtet. Als Resultat stehen zu den Elementen der transformierten Steifigkeitsmatrix folgende Beziehungen
\[
  \begin{Array}{lllll} \displaystyle
    \overline{C}_{11} = C_{11}\cos^4\vartheta + 2(C_{12}+2C_{66})\sin^2\vartheta\cos^2\vartheta + C_{22}\sin^4\vartheta \\
    \overline{C}_{22} = C_{11}\sin^4\vartheta + 2(C_{12}+2C_{66})\sin^2\vartheta\cos^2\vartheta + C_{22}\cos^4\vartheta \\
    \overline{C}_{12} = (C_{11}+C_{22}-4C_{66})\sin^2\vartheta\cos^2\vartheta + C_{12}(\sin^4\vartheta+\cos^4\vartheta) \\
    \overline{C}_{16} = (C_{11}-C_{12}-2C_{66})\sin\vartheta\cos^3\vartheta + (C_{12}-C_{22}+2C_{66})\sin^3\vartheta\cos\vartheta \\
    \overline{C}_{26} = (C_{11}-C_{12}-2C_{66})\sin^3\vartheta\cos\vartheta + (C_{12}-C_{22}+2C_{66})\sin\vartheta\cos^3\vartheta \\
    \overline{C}_{66} = (C_{11}+C_{22}-2C_{12}-2C_{66})\sin^2\vartheta\cos^2\vartheta + C_{66}(\sin^4\vartheta+\cos^4\vartheta)
  \end{Array}
\]
Abschließend wird der Zusammenhang zwischen den Linienlasten und Plattenverformungen in folgender kompakten Form mit der \(\tensor{ABD}\)"=Matrix ausgedrückt
\[
  \begin{bmatrix}
    \tensor{N} \\ \tensor{M}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \tensor{A} & \tensor{B} \\
    \tensor{B} & \tensor{D} 
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \tensor{\varepsilon}^0 \\ \tensor{\kappa}^0
  \end{bmatrix}
\]
oder Ausführlich
\[
  \begin{bmatrix}
    N\ti{x} \\ N\ti{y} \\ N\ti{xy} \\ M\ti{x} \\ M\ti{y} \\ M\ti{xy} 
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    A_{11} & A_{12} & A_{16} & B_{11} & B_{12} & B_{16} \\
    A_{12} & A_{22} & A_{26} & B_{12} & B_{22} & B_{26} \\
    A_{16} & A_{26} & A_{66} & B_{16} & B_{26} & B_{66} \\
    B_{11} & B_{12} & B_{16} & D_{11} & D_{12} & D_{16} \\
    B_{12} & B_{22} & B_{26} & D_{12} & D_{22} & D_{26} \\
    B_{16} & B_{26} & B_{66} & D_{16} & D_{26} & D_{66} \\
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{x}^0 \\ \varepsilon\ti{y}^0 \\ \gamma\ti{xy}^0 \\ \kappa_{x}^0 \\ \kappa_{y}^0 \\ \kappa_{xy}^0
  \end{bmatrix}
\]
mit den Submatrizen
\[
  \begin{Array}{lllll} \displaystyle
    \tensor{A} = \sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k (z_k - z_{k-1}) ~, \\[1em] \displaystyle
    \tensor{B} = \frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k  (z_k^2 - z_{k-1}^2) ~, \\[1em] \displaystyle
    \tensor{C} = \frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n \tensor{\overline{C}}_k  (z_k^3 - z_{k-1}^3) ~.
  \end{Array}
\]
Jeder dieser Submatrizen ist symmetrisch. Damit ist auch die \(\tensor{ABD}\)"=Matrix symmetrisch.


