
\newpage
\thispagestyle{plain}
\section{Theoretische Grundlagen}\label{sec:Theorie}

\subsection{Rechnerunterstütztes Konstruieren}
\ac{CAD}

%\subsubsection{Flächendarstellung}
%\subsubsection{Datenaustausch}


\subsection{Faserverbundwerkstoffe}


%\subsection{Aerodynamik einer Windenergieanlage}


%\subsection{Strukturdynamik einer Windenergieanlage}


\subsection{Numerische Strukturmechanik}
Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken physikalische Fragestellungen zu beantworten.
So sind für strukturmechanische Probleme einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten 
als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse. 
Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Prograe einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten 
als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse. 
Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
%verwiesen.
Die Grundlage dieser Darstellung wiederum sind die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch.

Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
und bei allgemeinen dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
Gewonnen werden diese Differentialgleichung durch Gleichgewichtsbetrachtungen eines beliebigen Festkörpers, der entweder statisch bestimmt oder statisch überbestimmt gelagert und mit äußeren Lasten beaufschlagt ist.
Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird;
die Partitionierung wobei das Berechnungsgebiet in Elementen mit Knoten eingeteilt wird und das Gebiet als Summe der Elemente anzusehen ist,
die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wird und die Elemente fortan in Abhängigkeit der Knotenverformung beschrieben sind und schließlich
die Assemblierung die das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.

\subsubsection{Statische Analysen}
Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung -- 
\[
  \begin{Array}{rll}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
    \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, \\
    \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, \\
    &&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
  \end{Array}
\]
Die Summe der
%partiell abgeleiteten
%inneren Spannungen
gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht, siehe dazu auch Abbildung~\ref{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} rechts mit Darstellung der in \(x\) gerichteten Kräften. 
Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird. 


%\begin{tikzpicture}
%    \tikzcuboid{%
%    shiftx=0cm,%
%    shifty=0cm,%
%    scale=1.00,%
%    rotation=0,%
%    densityx=1,%
%    densityy=1,%
%    densityz=1,%
%    dimx=2,%
%    dimy=2,%
%    dimz=2,%
%    front/.style={draw=blue!75!black,fill=blue!25!white},%
%    right/.style={draw=blue!25!black,fill=blue!75!white},%
%    top/.style={draw=blue!50!black,fill=blue!50!white},%
%    anglex=-7,%
%    angley=90,%
%    anglez=221.5,%
%    scalex=1,%
%    scaley=1,%
%    scalez=0.5,%
%    emphedge=false,%
%    shade,%
%    shadeopacity=0.15,%
%    }
%\end{tikzpicture}


%
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
  \fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
  
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (0,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (0,1,0);
  \draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
  \draw[color=black!50] (0,1,0) -- (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
    
  % Z-Ebene
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below] {$\tau\ti{zx}$};
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.9,1) node[right] {$\tau\ti{zy}$};
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.5,1.4) node[left] {$\sigma\ti{zz}$};
    
  % X-Ebene
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.5,.9) node[below right] {$\tau\ti{xz}$};
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.9,.5) node[right] {$\tau\ti{xy}$};
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\sigma\ti{xx}$};
    
  % Y-Ebene
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1,.9) node[left] {$\tau\ti{yz}$};
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above] {$\tau\ti{yx}$};
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1.4,.5) node[right] {$\sigma\ti{yy}$};
    
  % Koordinatensystem
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.6,0,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,.3,0) node[above] {$y$};
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,0,.3) node[below left] {$z$};
}
\end{tikzpicture}
\hspace{.5em}
%\raisebox{0.9em}{
%\begin{tikzpicture}[scale=2]
%{
%  \fill[color=black!5] (0,0,0) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
%  \draw[color=black!50] (0,0,0) -- node[below, color=black] {$\dif{x}$} (1,0,0) -- (1,1,0) -- node[above, color=black] {Vergleich mit 1D} (0,1,0) -- cycle;
%  \draw[<-] (-0.5,0.5,0) -- (0,0.5,0) node[above left] {$\sigma(x)$};
%  \draw[->] (1,0.5,0) node[above right] {$\sigma(x+\dif{x})$} -- (1.5,0.5,0);
%}
%\end{tikzpicture}
%}
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
  \fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
  
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- node[below left,color=black]{$\dif z$} (0,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- node[above left=-4pt and -4pt,color=black]{$\dif y$} (0,1,0);
  \draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
  \draw[color=black!50] (0,1,0) -- node[above left,color=black]{$\dif x$} (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (1,0,0);
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,1,0);
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,0,1);
    
  % X-Ebene
  \fill[color=black!35] (1,.45,.55) -- (1,.45,.45) -- (1,.55,.45) -- (1,.55,.55) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,.45,.55) -- (0,.45,.45) -- (0,.55,.45) -- (0,.55,.55) -- cycle;
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\displaystyle\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x$};
  \draw[->] (0,.5,.5) -- (-.4,.5,.5) node[left] {$\sigma\ti{xx}$};
    
  % Y-Ebene
  \fill[color=black!25] (.45,1,.55) -- (.55,1,.55) -- (.55,1,.45) -- (.45,1,.45) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (.45,0,.55) -- (.55,0,.55) -- (.55,0,.45) -- (.45,0,.45) -- cycle;
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{yx}+\frac{\partial\tau\ti{yx}}{\partial y}\dif y$};
  \draw[->,dashed] (.5,0,.5) -- (.1,0,.5) node[below] {$\tau\ti{yx}$};
    
  % Z-Ebene
  \fill[color=black!12] (.45,.45,1) -- (.55,.45,1) -- (.55,.55,1) -- (.45,.55,1) -- cycle;
  \fill[color=black!12] (.45,.45,0) -- (.55,.45,0) -- (.55,.55,0) -- (.45,.55,0) -- cycle;
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{zx}+\frac{\partial\tau\ti{zx}}{\partial z}\dif z$};
  \draw[->,dashed] (.5,.5,0) -- (.1,.5,0) node[above right] {$\tau\ti{zx}$};
    
  % fx
  \draw[double -latex=2pt colored by black!80 and white] (.5,.5,.5) node[right] {$f\ti{x}$} -- (.1,.5,.5);
}
\end{tikzpicture}
\caption{Kräfte an einem infinitesimalen Volumenelement}
\label{pgfplots:Kraeftegleichgewicht}
\end{figure} \vspace{-1.5em}

\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\)
\[
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A 
%  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
  }_{\delta W\ti{a}}
\]
wobei 
%\( \nabla\cdot(\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}) = \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u} + \tensorII{\sigma}:\nabla\delta\tensorI{u} \)
%(Produktregel mit symmetrischen Tensor \(\tensorII{\sigma}^\T=\tensorII{\sigma}\))
%und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
%(Gauß'sche Integralsatz)
\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
(Green'sche Integralsatz)
sowie
\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt.

\paragraph{Materialgesetz}~\\
Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Dehnung das folgende Materialgesetz
\[
  \begin{Array}{rrcll}
  &\tensorII{\sigma} &=& \tensorIV{C}:\tensorII{\varepsilon}  \\
  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\sigma}_{6\times1} &=& \tensor{C}_{6\times6} \tensor{\varepsilon}_{6\times1} & \quad\text{da } \tensorII{\sigma}^\T = \tensorII{\sigma} ~\wedge~ \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}
  \end{Array}
\]
Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem bekannteren eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) das Verhalten nicht mit einer einzigen Zahl oder Größe beschrieben wird.
Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.

Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.

\paragraph{Kinematik}~\\
Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung, für kleine Verschiebungen, 
%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
ist als Verzerrungstensor gegeben
\[
  \begin{Array}{rrll} 
  &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left(  \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) %= \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) 
  \\
  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
  \end{Array}
\]
%\[
%  \begin{Array}{rrll} 
%  &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
%  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
%  \end{Array}
%\]
% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
% \end{bmatrix} \]
Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.

\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung}
\[
  V \approx \bigcup V^{(e)}
\] 
Hiermit ist das Gesamtvolumen die Vereinigung der diskreten Einzelvolumen oder Elemente.

Die \emph{Approximation}, mittels Ansatzfunktionen als Linearkombination von Formfunktionen mit Knotenverformungen als Koeffizienten, lautet
\[
  \tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V)
\]
worin \( \tensor{u}\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(\tensor{N}\) die Formfunktionen und \(\tensor{\hat{u}}\) die Knotenverformung sind. 
Werden für die Volumenvernetzung Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Formfunktionen verwendet (acht Knoten) nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
\[
  \tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1}   
\]
Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
\[
  \begin{Array}{lll} \displaystyle
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} = 
  \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}\big|_{V^{(e)}}}
  \quad , \\[4.5em]
  \displaystyle
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}} =
  \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}}
  \end{Array}
\]
Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu
\[
  \begin{Array}{rll} \displaystyle
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle = 
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{C} \tensor{\varepsilon} \cdot \delta\tensor{\varepsilon} \dif V  = 
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\tensor{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}}  \\[2em]
    & \displaystyle = 
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} =  \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\[1.5em]
    & \displaystyle = 
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen.
Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix.

Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
\[
  \begin{Array}{rll} \displaystyle
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A &\displaystyle =
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \sum\limits_{(e)} \delta\tensorI{\hat{u}}^\T\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A \\[2em]
  & \displaystyle =
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A\\[1.5em]
  & \displaystyle =
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Hierin ist \(\tensor{\hat{r}}\) der Knotenlastvektor.
Mit den beiden virtuellen Arbeitsaussagen lautet das globale Gleichgewicht
\[
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}
\]
Abschließend wird die virtuelle Verschiebung ausgeklammert
\[
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad\rightarrow\quad
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T (\tensor{K} \tensor{\hat{u}} - \tensor{\hat{r}}) = 0
\]
Aus dem Variationsargument, dass diese Gleichung für beliebige virtuelle Verschiebungen gelten soll, muss der Klammerausdruck zu Null werden und es folgt das lineare FE"=Gleichungssystem.
\[
  \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \tensor{\hat{r}}
\]
Gelöst wird das Gleichungssystem nach
\[
  \tensor{\hat{u}} = \tensor{K}^{-1} \tensor{\hat{r}}
\]
wobei vorher das noch singuläre FE"=Gleichungssystem
mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0 = 0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert
\[
  \tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
\]


\subsubsection{Dynamische Analysen}
Im Gegensatz zu dem statischen Fall~\(\tensorI{u}(\tensorI{x})\) sind bei dynamischen zeitabhängigen Problemen~\(\tensorI{u}(\tensorI{x},t)\) -- die Bewegungen beschreiben -- Trägheitskräfte \(\rho\tensorI{\ddt{u}}\) zu berücksichtigen.
Diese Trägheitskräfte wirken entgegengesetzt zur angenommenen Bewegungsrichtung.
Damit lautet die starke Form des Gleichgewicht oder der allgemeine dynamische Impulsbilanz für ein Materialpunkt
\[
  \begin{Array}{rlll}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\
    \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\
    \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
    &&\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V.
  \end{Array}
\]
Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall.

Sind geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskräfte zu simulieren, ist in der partiellen Differentialgleichung ein weiterer Dämpfungsterm \(d\tensorI{\dt{u}}\) zu berücksichtigen
\[
  \begin{Array}{rlll}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} + d\tensorI{\dt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T]
  \end{Array}
\]

Zu den Anfangsbedingungen gehören
\[
  \begin{Array}{rlll}
  \tensorI{u}(\tensorI{x},0) = \tensorI{u}_0 \\
  \tensorI{\dt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\dt{u}}_0 \\
  \tensorI{\ddt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\ddt{u}}_0 \\
  \end{Array}
\]
Da diese möglichen Anfangsbedingungen nicht unabhängig voneinander sind, werden nur zwei der drei Anfangsbedingungen je Materialpunkt vorgeschrieben.
Die verbleibende Größe ergibt sich aus der Auswertung der partiellen Differentialgleichung zum Zeitpunkt \(t=0\).

\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall
\[
  \int\limits_{V}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V
  = \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A 
%  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i 
  \quad \forall t \in [0,T]
\]


\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
...
\[
  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{\hat{r}}
\]
Mit \(\tensor{M}\) als Massenmatrix, \(\tensor{D}\) als Dämpfungsmatrix und \(\tensor{K}\) als Steifigkeitsmatrix sowie \(\tensor{\hat{r}}\) als Lastvektor.


\paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
Die Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung 
\[
  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{0}
\]
Einsetzen des Lösungsansatzes
\[
  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\Phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
\]
in die Differentialgleichung liefert das (reelle) Eigenwertproblem
\[
  (-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\Phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2 
\]
wobei allgemein \(\euler^{\im\omega t} \neq 0 \) gilt.
Für die Nichttriviale Lösung folgt die charakteristische Gleichung
\[
  \det{(\tensor{K}-\lambda\tensor{M})} = 0 
\]
Hierin sind \(\lambda_i\) die Eigenwerte und \(\omega_i\) die Eigenkreisfrequenzen sowie \(f_i=\frac{\omega_i}{2\pi}\) die Eigenfrequenzen und \(\tensor{\Phi}_i\) die Eigenvektoren beziehungsweise Eigenmoden.

[[Modale Superposition, Orthogonalität der Eigenvektoren, ggf. Effektive Massen]]

\paragraph{Transiente Analyse}~\\
Neben der Volumendiskretisierung wird für die Zeitintegration von transienten Feldgleichungen das zu untersuchende Zeitintervall in diskrete Zeitabschnitte \(\Delta t\) unterteilt
\[
  [0,T] = \bigcup \Delta t \quad \text{mit } \Delta t = t_{n+1} - t_n
\]

Zeitintegration nach Newmark \cite{newmark59}...


\paragraph{Stationäre Analyse}~\\


\paragraph{Dämpfung}~\\