
\newpage
\thispagestyle{plain}
\section{Theoretische Grundlagen}\label{sec:Theorie}

%\subsection{Rechnerunterstütztes Konstruieren}
%\ac{CAD}

%\subsubsection{Flächendarstellung}
%\subsubsection{Datenaustausch}


%\subsection{Aerodynamik einer Windenergieanlage}


%\subsection{Strukturdynamik einer Windenergieanlage}


\subsection{Numerische Strukturmechanik}
Die \ac{FEM} umfasst eine Vielzahl von Methodiken physikalische Fragestellungen zu beantworten.
So sind für strukturmechanische Probleme einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten 
als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse. 
Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Prograe einer \ac{WEA} beispielsweise die statische Durchbiegung der Rotorblätter aufgrund Eigengewicht und Windlasten 
als auch Eigenformen und die Anlagenbelastung bei drehenden Rotorblätter von Interesse. 
Dazu wird in den nachfolgenden Abschnitten auf die Grundlagen der statischen und dynamischen Analyse eingegangen.
%Zur weiteren Vertiefung der Themengebiete beziehungsweise bei Interesse zur Lösung von anderen Problemstellungen sei unter anderem auf die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch %\cite{ansys}
%verwiesen.
Die Grundlage dieser Darstellung wiederum sind die Literatur \citep{bathe86}, \cite{klein05} und \cite{becker02} sowie das \acs{ANSYS}"=Programmhandbuch.

Im Allgemeinen werden mit der \ac{FEM} Differentialgleichungen beziehungsweise Systeme von Differentialgleichungen gelöst.
Am Beispiel eines Biegebalkens ist es die Biegedifferentialgleichung
und bei allgemeinen dynamischen Problemen eine Bewegungsdifferentialgleichung.
Gewonnen werden diese Differentialgleichung durch Gleichgewichtsbetrachtungen eines beliebigen Festkörpers, der entweder statisch bestimmt oder statisch überbestimmt gelagert und mit äußeren Lasten beaufschlagt ist.
Die \ac{FEM} umfasst zur Lösung der Feldgröße dabei drei grundlegende Schritte mit der die Differentialgleichung als FE"=Gleichungssystem beschrieben wird;
die Partitionierung wobei das Berechnungsgebiet in Elementen mit Knoten eingeteilt wird und das Gebiet als Summe der Elemente anzusehen ist,
die Approximation bei der die gesuchte Verformung durch Polynome angenähert wird und die Elemente fortan in Abhängigkeit der Knotenverformung beschrieben sind und schließlich
die Assemblierung die das globale \glqq diskrete\grqq\ Gleichgewicht (FE"=Gleichungssystem) aufstellt mit der das Gebiet als Summe der beschriebenen Elemente anzusehen ist, wobei kinematische Bedingungen gleicher Verformungen zu berücksichtigen sind.

\subsubsection{Statische Analysen}\label{statik}
Mit dem Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Element ergibt sich für ein beliebigen Körper~\(V\) im allgemeinen dreidimensionalen Fall die klassische elliptische Differentialgleichung mit den Randbedingungen auf der Körperoberfläche~\(\partial V\) -- in differentielle Tensor"=Formulierung -- 
\[
  \begin{Array}{rlll}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \tensorI{f} &= \tensorI{0} & \quad\text{in } V, \\
    \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0 & \quad\text{auf } \partial V_1, & \text{(\textsc{Dirichlet}'sche Randbedingungen)}\\
    \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\text{auf } \partial V_2, & \text{(\textsc{Neumann}'sche Randbedingungen)} \\
    &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.}
  \end{Array}
\]
Die Summe der
%partiell abgeleiteten
%inneren Spannungen
gleichgerichteten, auf das Volumen bezogenen, differentiellen Spannungen%
~\(\sigma_{ji,j}(\tensorI{x})\) stehen mit der ortsabhängigen Volumenkraft~\(f_i(\tensorI{x})\) der jeweiligen Richtung im Gleichgewicht, siehe dazu auch folgende Gleichung sowie Abbildung~\ref{pgfplots:Kraeftegleichgewicht} rechts mit Darstellung der in \(x\) gerichteten Kräften. 
\[
  \begin{Array}{rll}\displaystyle
  \left(\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x - \sigma\ti{xx}\right)\dif y \dif z +
  \left(\tau\ti{yx}+\frac{\partial\tau\ti{yx}}{\partial y}\dif y - \tau\ti{yx}\right)\dif x \dif z +
  \left(\tau\ti{zx}+\frac{\partial\tau\ti{zx}}{\partial z}\dif z - \tau\ti{zx}\right)\dif x \dif y ~&(+)\\
  + f\ti{x}\dif x \dif y \dif z &= 0
  \\ \displaystyle
  \implies \quad
  \sigma\ti{xx,x} + \tau\ti{yx,y} + \tau\ti{zx,z} + f\ti{x} &= 0
  \end{Array}
\]
Die Randbedingungen beschreiben dabei zum einen Verschiebungen~\(\tensorI{u}_0(\tensorI{x})\) auf einem Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_1\) und zum anderen Belastungen in Form eines \textsc{Cauchy}"=Spannungsvektors~\(\tensorI{t}(\tensorI{x})\) bezüglich der Oberflächennormale \(\tensorI{n}\) auf den restlichen Teil der Körperoberfläche~\(\partial V_2\).
Zur näherungsweisen Verarbeitung der Differentialgleichung wird hier vorerst das Variationsprinzip mit dem sogenannte \emph{Prinzip der virtuellen Verrückung} herangezogen, mit dem ein Ersatzgleichgewichtsgleichung formuliert wird. 


%\begin{tikzpicture}
%    \tikzcuboid{%
%    shiftx=0cm,%
%    shifty=0cm,%
%    scale=1.00,%
%    rotation=0,%
%    densityx=1,%
%    densityy=1,%
%    densityz=1,%
%    dimx=2,%
%    dimy=2,%
%    dimz=2,%
%    front/.style={draw=blue!75!black,fill=blue!25!white},%
%    right/.style={draw=blue!25!black,fill=blue!75!white},%
%    top/.style={draw=blue!50!black,fill=blue!50!white},%
%    anglex=-7,%
%    angley=90,%
%    anglez=221.5,%
%    scalex=1,%
%    scaley=1,%
%    scalez=0.5,%
%    emphedge=false,%
%    shade,%
%    shadeopacity=0.15,%
%    }
%\end{tikzpicture}


%
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
  \fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
  
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (0,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (0,1,0);
  \draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
  \draw[color=black!50] (0,1,0) -- (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
    
  % Z-Ebene
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below] {$\tau\ti{zx}$};
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.9,1) node[right] {$\tau\ti{zy}$};
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.5,.5,1.4) node[left] {$\sigma\ti{zz}$};
    
  % X-Ebene
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.5,.9) node[below right] {$\tau\ti{xz}$};
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1,.9,.5) node[right] {$\tau\ti{xy}$};
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\sigma\ti{xx}$};
    
  % Y-Ebene
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1,.9) node[left] {$\tau\ti{yz}$};
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above] {$\tau\ti{yx}$};
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.5,1.4,.5) node[right] {$\sigma\ti{yy}$};
    
  % Koordinatensystem
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.6,0,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,.3,0) node[above] {$y$};
  \draw[->] (-.9,0,0) -- (-.9,0,.3) node[below left] {$z$};
}
\end{tikzpicture}
\hspace{.5em}
%\raisebox{0.9em}{
%\begin{tikzpicture}[scale=2]
%{
%  \fill[color=black!5] (0,0,0) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
%  \draw[color=black!50] (0,0,0) -- node[below, color=black] {$\dif{x}$} (1,0,0) -- (1,1,0) -- node[above, color=black] {Vergleich mit 1D} (0,1,0) -- cycle;
%  \draw[<-] (-0.5,0.5,0) -- (0,0.5,0) node[above left] {$\sigma(x)$};
%  \draw[->] (1,0.5,0) node[above right] {$\sigma(x+\dif{x})$} -- (1.5,0.5,0);
%}
%\end{tikzpicture}
%}
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \fill[color=black!25] (1,0,1) -- (1,0,0) -- (1,1,0) -- (1,1,1) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,1,1) -- (1,1,1) -- (1,1,0) -- (0,1,0) -- cycle;
  \fill[color=black!5] (0,0,1) -- (1,0,1) -- (1,1,1) -- (0,1,1) -- cycle;
  
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- (1,0,1);
  \draw[color=black!50] (0,0,1) -- node[below left,color=black]{$\dif z$} (0,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,0,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- node[above left=-4pt and -4pt,color=black]{$\dif y$} (0,1,0);
  \draw[color=black!50] (1,0,0) -- (1,1,0);
  \draw[color=black!50] (0,1,0) -- node[above left,color=black]{$\dif x$} (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50] (0,1,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,0,1) -- (1,1,1);
  \draw[color=black!50] (1,1,1) -- (1,1,0);
    
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (1,0,0);
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,1,0);
  \draw[color=black!50, dashed] (0,0,0) -- (0,0,1);
    
  % X-Ebene
  \fill[color=black!35] (1,.45,.55) -- (1,.45,.45) -- (1,.55,.45) -- (1,.55,.55) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (0,.45,.55) -- (0,.45,.45) -- (0,.55,.45) -- (0,.55,.55) -- cycle;
  \draw[->] (1,.5,.5) -- (1.4,.5,.5) node[right] {$\displaystyle\sigma\ti{xx}+\frac{\partial\sigma\ti{xx}}{\partial x}\dif x$};
  \draw[dashed] (0,.5,.5) -- (-.2,.5,.5);
  \draw[->] (-.2,.5,.5) -- (-.4,.5,.5) node[left] {$\sigma\ti{xx}$};
    
  % Y-Ebene
  \fill[color=black!25] (.45,1,.55) -- (.55,1,.55) -- (.55,1,.45) -- (.45,1,.45) -- cycle;
  \fill[color=black!15] (.45,0,.55) -- (.55,0,.55) -- (.55,0,.45) -- (.45,0,.45) -- cycle;
  \draw[->] (.5,1,.5) -- (.9,1,.5) node[above right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{yx}+\frac{\partial\tau\ti{yx}}{\partial y}\dif y$};
  \draw[->,dashed] (.5,0,.5) -- (.1,0,.5) node[below] {$\tau\ti{yx}$};
    
  % Z-Ebene
  \fill[color=black!12] (.45,.45,1) -- (.55,.45,1) -- (.55,.55,1) -- (.45,.55,1) -- cycle;
  \fill[color=black!12] (.45,.45,0) -- (.55,.45,0) -- (.55,.55,0) -- (.45,.55,0) -- cycle;
  \draw[->] (.5,.5,1) -- (.9,.5,1) node[below right=-10pt] {$\displaystyle\tau\ti{zx}+\frac{\partial\tau\ti{zx}}{\partial z}\dif z$};
  \draw[->,dashed] (.5,.5,0) -- (.1,.5,0) node[above right] {$\tau\ti{zx}$};
    
  % fx
  \draw[double -latex=2pt colored by black!80 and white] (.1,.5,.5) -- (.5,.5,.5) node[right] {$f\ti{x}$};
}
\end{tikzpicture}
\caption{Kräfte an einem infinitesimalen Volumenelement}
\label{pgfplots:Kraeftegleichgewicht}
\end{figure} \vspace{-1.5em}

\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Auf Grundlage der Differentialgleichung (starke Formulierung) erfolgt die schwache Formulierung durch Multiplikation einer Testfunktion beziehungsweise hier mit einer virtuellen Verrückung \(\delta\tensorI{u}\), welche die kinematischen beziehungsweise wesentlichen Randbedingungen erfüllen muss (\(\forall \delta\tensorI{u}\in C^1(V)\cap C(\overline{V}) \text{ mit } \overline{V}=V \cup \partial V,~ \delta\tensorI{u} = \tensorI{u}_0 \text{ auf } \partial V_1\)) und anschließender Integration über das Berechnungsgebiet \(V\)
\[
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!(\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u})\dif V }_{\delta W\ti{i}} = \underbrace{\!\!\int\limits_V\!\!\!(\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u})\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A 
%  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i
  }_{\delta W\ti{a}}
\]
wobei 
%\( \nabla\cdot(\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}) = \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u} + \tensorII{\sigma}:\nabla\delta\tensorI{u} \)
%(Produktregel mit symmetrischen Tensor \(\tensorII{\sigma}^\T=\tensorII{\sigma}\))
%und \( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\dif V = \int_{\partial V}\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n}\dif A \)
%(Gauß'sche Integralsatz)
\( \int_V \nabla\cdot\tensorII{\sigma}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = \int_A(\tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n})\cdot\delta\tensorI{u}\dif A - \int_V\tensorII{\sigma}:(\nabla\delta\tensorI{u})\dif V \)
(\textsc{Green}'sche Integralsatz)
sowie
\( \nabla\delta\tensorI{u} = \tensorII{\varepsilon}(\delta\tensorI{u}) = \delta\tensorII{\varepsilon} \) im linearen Fall. Es sei darauf hingewiesen, das die Integration für kleine Verformungen über das unverformte und bei dem nichtlinearen Fall über das verformte Volumen erfolgt.

\paragraph{Materialgesetz}~\\
Im linear elastischen Fall besteht zwischen der Spannung und der Verzerrungen das folgende Materialgesetz
\[
  \begin{Array}{rrcll}
  &\tensorII{\sigma} &=& \tensorIV{C}:\tensorII{\varepsilon} & \text{bzw.}\quad\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \\
  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\sigma}_{6\times1} &=& \tensor{C}_{6\times6} \tensor{\varepsilon}_{6\times1} & \quad\text{da } \tensorII{\sigma}^\T = \tensorII{\sigma} ~\wedge~ \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}
  \end{Array}
\]
Im allgemeinem Fall entsprechen die enthaltene Richtungen der Dehnung nicht die enthaltene Richtung der Kraftkomponente. Es kann somit jede Spannungskomponente von jeder Dehnungskomponente abhängen, weshalb entgegen dem bekannteren eindimensionalen Fall \(\sigma(x) = E\varepsilon(x)\) das Verhalten nicht mit einer einzigen Zahl oder Größe beschrieben wird.
Damit ist die Elastizitätsbeziehung beziehungsweise der Elastizitätstensor \(\tensorIV{C}\), der das Materialverhalten beschreibt, kein Skalar sondern ein Tensor vierter Stufe.

Mit dem Momentengleichgewicht am infinitesimalen Volumen zeigt sich, dass bei Abwesenheit von verteilten Momenten sowohl der Spannungstensor als auch der Verzerrungstensor symmetrisch sind und somit jeweils nur sechs unabhängige Komponenten haben. Es lässt sich ebenfalls zeigen dass der Elastizitätstensor höchstens \(6^2=36\) Komponenten hat und dass mit Hilfe der Formänderungsenergiedichte die Steifigkeitsmatrix symmetrisch ist und somit die unabhängigen Komponenten auf 21 reduzieren.

Für den physikalisch nichtlinearen Fall sind die Spannungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\sigma} = \tensorII{\sigma}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.

\paragraph{Kinematik}~\\
Die kinematische Beziehung der örtlich dreidimensionalen Dehnung, für kleine Verschiebungen, 
%sind die partiellen Verhältnisse der Längenänderung zur ursprünglichen Länge
ist als Verzerrungstensor gegeben
\[
  \begin{Array}{rrll} 
  &\tensorII{\varepsilon} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left(  \nabla\tensorI{u} + (\nabla\tensorI{u})^\T \, \right) \quad \text{bzw.}\quad\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})
  \\
  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \mathcal{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  %\text{ mit } \mathcal{D}: \text{Operatormatrix}
  \end{Array}
\]
%\[
%  \begin{Array}{rrll} 
%  &\varepsilon_{ij} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \\
%  \text{bzw. in Ingeniersnotation}~~~~~ & \tensor{\varepsilon}_{6\times1} &= \tensor{D}_{6\times3}\tensor{u}_{3\times1} \quad \quad\text{da } \tensorII{\varepsilon}^\T = \tensorII{\varepsilon}  \text{ mit } \tensor{D}: \text{Operatormatrix}
%  \end{Array}
%\]
% \[ \tensor{D} = \begin{bmatrix}
% \frac{\partial}{\partial x} & 0 & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\
% 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
% \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
% 0 & \frac{\partial}{\partial z} & \frac{\partial}{\partial y} \\
% \frac{\partial}{\partial z} & 0 & \frac{\partial}{\partial x}
% \end{bmatrix} \]
%mit der Differentialoperatormatrix \(\mathcal{D}\)
oder ausführlich
\[
  \begin{bmatrix}
    \varepsilon\ti{11} \\ \varepsilon\ti{22} \\ \varepsilon\ti{33} \\ 2\varepsilon\ti{12} \\ 2\varepsilon\ti{23} \\ 2\varepsilon\ti{13}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 & 0 \\
    0 & \Faktor{\partial}{\partial X_2} & 0 \\
    0 & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} \\
    \Faktor{\partial}{\partial X_2} & \Faktor{\partial}{\partial X_1} & 0 \\
    0 & \Faktor{\partial}{\partial X_3} & \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\
    \Faktor{\partial}{\partial X_3} & 0 & \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    u_1 \\ u_2 \\ u_3
  \end{bmatrix}
\]
hierin ist \(\mathcal{D}\) die Differentialoperatormatrix.
Für den geometrisch nichtlinearen Fall sind die Dehnungen allgemein von dem Verlauf der Verformung abhängig \(\tensorII{\varepsilon} = \tensorII{\varepsilon}(\tensorI{u})\).
Für eine genauere Darstellung wird auf \cite{becker02} verwiesen.

\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
Das Aufstellen des FE"=Gleichungssystems beginnt mit der \emph{Vernetzung} beziehungsweise der \emph{Partitionierung}
\[
  V \approx \bigcup V^{(e)}
\] 
Hiermit ist das Gesamtvolumen die Vereinigung der diskreten Einzelvolumen oder Elemente.

Die \emph{Approximation}, mittels Ansatzfunktionen als Linearkombination von Formfunktionen mit Knotenverformungen als Koeffizienten, lautet
\[
  \tensor{u}\big|_{V^{(e)}} \approx \tensor{u}\ti{fe}\big|_{V^{(e)}} = \tensor{N}\big|_{V^{(e)}} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \forall \tensor{u}\ti{fe} \in C^0(V)
\]
worin \( \tensor{u}\ti{fe} \) die FE"=Verformung, \(\tensor{N}\) die Formfunktionen und \(\tensor{\hat{u}}\) die Knotenverformung sind. 
Werden für die Volumenvernetzung Hexaeder-Elemente (Würfel) mit trilinearen Formfunktionen verwendet (acht Knoten) nimmt die Matrixnotation folgende Darstellung an
\[
  \tensor{u}_{3\times1} = \tensor{N}_{\!3\times24}\, \tensor{\hat{u}}_{24\times1}   
\]
Die Formfunktion eines Elementknotens kann durch Multiplikation der zu diesem Knoten korrespondierenden (drei) eindimensionalen Formfunktionen (\textsc{Lagrange}"=Polynome) entwickelt werden.\cite{kuhl07}
Dabei werden die Formfunktionen des jeweiligen Knotens~\(N_i\) mit Hilfe der Interpolationseigenschaften 
\[
  \begin{Array}{lll} 
  N_i(\tensorI{\xi}^i) = 1 ~, \quad i = 1, 2, \ldots, 8~,\\
  N_i(\tensorI{\xi}^j) = 0 ~, \quad j \neq i
  \end{Array}
\]
hergeleitet, wobei mit \(\tensorI{\xi}^i\) die Koordinate zum Knoten~\(i\) gemeint ist.
Die Abbildung~\ref{pgfplots:Formfunktion} zeigt am Beispiel des dritten Knotens die entsprechende Formfunktion.
%
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
{
  \coordinate (k1) at (-.5,-.5,-.5);
  \coordinate (k2) at (.5,-.5,-.5);
  \coordinate (k3) at (.5,.5,-.5);
  \coordinate (k4) at (-.5,.5,-.5);
  \coordinate (k5) at (-.5,-.5,.5);
  \coordinate (k6) at (.5,-.5,.5);
  \coordinate (k7) at (.5,.5,.5);
  \coordinate (k8) at (-.5,.5,.5);
  
  \coordinate (n31) at ($(k3)+(.2,0,0)$);
  \coordinate (n32) at ($(k3)+(0,.2,0)$);
  \coordinate (n33) at ($(k3)+(0,0,-.2)$);
  
  \fill[color=black!25] (n33) -- (k4) -- (k3) -- cycle;
  \fill[color=black!25] (n33) -- (k3) -- (k2) -- cycle;
  \draw[color=black!100,thick] (k3) -- (n33);
  \draw[color=black!100,thick] (n33) -- (k2);
  \draw[color=black!100,thick] (n33) -- (k4);
  
  \fill[color=black!25] (n31) -- (k3) -- (k7) -- cycle;
  \fill[color=white] (k2) -- (n31) -- (k7) -- (k6) -- cycle;
  \draw[color=black!100,thick] (k3) -- (n31);
  \draw[color=black!100,thick] (n31) -- (k2);
  \draw[color=black!100,thick] (n31) -- (k7);
  
  \fill[color=black!25] (n32) -- (k7) -- (k3) -- cycle;
  \fill[color=white] (n32) -- (k4) -- (k8) -- (k7) -- cycle;
  \draw[color=black!100,thick] (k3) -- (n32);
  \draw[color=black!100,thick] (n32) -- (k4);
  \draw[color=black!100,thick] (n32) -- (k7);
  
  \draw[color=black!100] (k2) -- (k3) -- (k4);
  \draw[color=black!100,thick] (k2) -- (k6);
  \draw[color=black!100] (k3) -- (k7);
  \draw[color=black!100,thick] (k4) -- (k8);
  \draw[color=black!100,thick] (k5) -- (k6) -- (k7) -- (k8) -- cycle;

  \draw[thick] (k2) circle (.04) node[right=.1] {2};
  \draw[thick] (k3) circle (.04) node[above right=.1] {3};
  \draw[thick] (k4) circle (.04) node[left=.1] {4};
  \draw[thick] (k5) circle (.04) node[left=.1] {5};
  \draw[thick] (k6) circle (.04) node[right=.1] {6};
  \draw[thick] (k7) circle (.04) node[right=.1] {7};
  \draw[thick] (k8) circle (.04) node[left=.1] {8};
  
  % Koordinatensystem
  \draw[->] (.6,0,0) -- (1,0,0) node[right] {$\xi_1$};
  \draw[->] (0,.6,0) -- (0,1,0) node[above] {$\xi_2$};
  \draw[->] (0,0,.5) -- (0,0,1) node[below left] {$\xi_3$};
}
\end{tikzpicture}
\caption[Formfunktion \(N_3(\tensor{\xi})\) des Achtknoten"=Volumenelements]{Formfunktion \(N_3(\tensorI{\xi})\) des Achtknoten"=Volumenelements}
\label{pgfplots:Formfunktion}
\end{figure} \vspace{-1.5em}
%
Die acht Formfunktionen des trilinearen Volumenelements, die in Abhängigkeit dem zum Element gewählten natürlichen Koordinaten \(\tensorI{\xi}\) beschrieben sind, lauten
\[
  \begin{Array}{lll} 
    N_1(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\
    N_2(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3) \\
    N_3(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3) \\
    N_4(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3) \\
    N_5(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3) \\
    N_6(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3) \\
    N_7(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \\
    N_8(\tensorI{\xi}) = \Faktor{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \\
  \end{Array}
\]
wobei für die Anordnung in die Matrix der Formfunktionen~\(\tensor{N}\) zuerst die jeweilige Formfunktion zum Knoten \(N_i\) diagonal zu jeden Freiheitsgrad in eine Untermatrix \(\tensor{N}_{\!i}\) abgebildet werden. Anschließend werden diese Untermatrizen in Reihe für jeden Knoten angeordnet.
\[
  \tensor{N}_i(\tensorI{\xi}) = \begin{bmatrix}
    N_i(\tensorI{\xi}) & 0 & 0 \\
    0 & N_i(\tensorI{\xi}) & 0 \\
    0 & 0 & N_i(\tensorI{\xi})
  \end{bmatrix}
  \qquad
  \tensor{N}(\tensorI{\xi}) = \begin{bmatrix}
    \tensor{N}_1(\tensorI{\xi}) & \tensor{N}_2(\tensorI{\xi}) & \cdots & \tensor{N}_8(\tensorI{\xi})
  \end{bmatrix}
\]
Sollen die Formfunktionen mit natürlichen Koordinaten verwendet werden, muss für den Verzerrungstensor die Ableitungen nach den physikalischen globalen Koordinaten~\(\tensorI{X}\) und den natürlichen Elementkoordinaten~\(\tensorI{\xi}\) eine Transformation erfolgen. Es gilt als Transformationsbeziehung
\[
  \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial\xi_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_3}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_1} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_1} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_1} \\
    \Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_2} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_2} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_2} \\
    \Faktor{\partial X_1}{\partial\xi_3} & \Faktor{\partial X_2}{\partial\xi_3} & \Faktor{\partial X_3}{\partial\xi_3} \\
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_3}
  \end{bmatrix}
  \quad\text{bzw.}\quad
  \frac{\partial}{\partial\tensorI{\xi}} = \tensorII{J}(\tensorI{\xi})\frac{\partial}{\partial\tensorI{X}}
\]
Hierin ist \(\tensorII{J}(\tensorI{\xi})\) die \textsc{Jacobi}"=Matrix. 
Mit der Inversen"=\textsc{Jacobi}"=Matrix wird die Transformationsbeziehung zur Ableitung von Funktion in natürliche Koordinaten nach den physikalischen Koordinaten beschrieben.
\[
  \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial X_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial X_3}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_1} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_1} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_1} \\
    \Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_2} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_2} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_2} \\
    \Faktor{\partial\xi_1}{\partial X_3} & \Faktor{\partial\xi_2}{\partial X_3} & \Faktor{\partial\xi_3}{\partial X_3} \\
  \end{bmatrix} 
  \begin{bmatrix}
    \Faktor{\partial}{\partial\xi_1} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_2} \\ \Faktor{\partial}{\partial\xi_3}
  \end{bmatrix}
  \quad\text{bzw.}\quad
  \frac{\partial}{\partial\tensorI{X}} = \tensorII{J}^{-1}(\tensorI{\xi})\frac{\partial}{\partial\tensorI{\xi}}
\]
Mit Hilfe der \textsc{Jacobi}"=Determinante ist das Volumenelement \(\dif V\) in physikalischen Koordinaten in das Volumenelement in natürlichen Koordinaten zu transformieren.
\[
  \dif V = \abs{\tensorII{J}(\tensorI{\xi})} \dif\xi_1\dif\xi_2\dif\xi_3
\]

Mit der \emph{Assemblierung} wird das Gebiet als Summe aller Elementintegrale abgebildet.
\[
  \begin{Array}{lll} \displaystyle
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}} = 
  \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V }_{\delta W\ti{i}\big|_{V^{(e)}}}
  \quad , \\[4.5em]
  \displaystyle
  \underbrace{\int\limits_{V\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!(\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u})\dif A}_{\delta W\ti{a}} =
  \underbrace{\sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}\vphantom{V_1^(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A}_{\delta W\ti{a}\big|_{V^{(e)}}}
  \end{Array}
\]
Für kleine Verformungen ergibt sich nun, mit den Materialgesetz, der kinematischen Beziehung und der Assemblierung, die virtuelle innere Arbeit zu
\[
  \begin{Array}{rll} \displaystyle
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V & \displaystyle = 
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{C} \tensor{\varepsilon} \cdot \delta\tensor{\varepsilon} \dif V  = 
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T 
  \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!
  \underbrace{\left( \mathcal{D} \tensor{N} \right)^\T}_{\tensor{B}^\T} \tensor{C} \underbrace{(\mathcal{D}\tensor{N})}_{\tensor{B}\vphantom{B^\T}} \dif V \tensor{\hat{u}}  \\[2em]
    & \displaystyle = 
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K}^{(e)} \tensor{\hat{u}} \quad\text{mit } \tensor{K}^{(e)} =  \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\! \tensor{B}^\T \tensor{C} \tensor{B} \dif V \\[1.5em]
    & \displaystyle = 
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} \quad \text{mit } \tensor{K} = \sum\limits_{(e)} \tensor{K}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Hierin beschreibt \(\tensor{B}\) die Ableitungen der Formfunktionen in Bezug auf die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen.
Weiter sind \(\tensor{K}^{(e)}\) die Elementsteifigkeitmatrix und \(\tensor{K}\) die Gesamtsteifigkeitsmatrix.

Und die äußere virtuelle Arbeit wird entsprechend umgeformt
\[
  \begin{Array}{rll} \displaystyle
  \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensorI{f}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \sum\limits_{(e)} \int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A &\displaystyle =
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T \!\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \sum\limits_{(e)} \delta\tensorI{\hat{u}}^\T\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A \\[2em]
  & \displaystyle =
  \sum\limits_{(e)} \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}^{(e)} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}}^{(e)} = \!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{f}\dif V + \!\!\!\!\!\!\int\limits_{~\partial V_2^{(e)}}\!\!\!\!\!\!\tensor{N}^\T\tensorI{t}\dif A\\[1.5em]
  & \displaystyle =
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad \text{mit } \tensor{\hat{r}} = \sum\limits_{(e)} \tensor{\hat{r}}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Hierin ist \(\tensor{\hat{r}}\) der Knotenlastvektor.
Mit den beiden virtuellen Arbeitsaussagen lautet das globale Gleichgewicht
\[
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}}
\]
Abschließend wird die virtuelle Verschiebung ausgeklammert
\[
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \delta\tensor{\hat{u}}^\T\tensor{\hat{r}} \quad\rightarrow\quad
  \delta\tensor{\hat{u}}^\T (\tensor{K} \tensor{\hat{u}} - \tensor{\hat{r}}) = 0
\]
Aus dem Variationsargument, dass diese Gleichung für beliebige virtuelle Verschiebungen gelten soll, muss der Klammerausdruck zu Null werden und es folgt das lineare FE"=Gleichungssystem.
\[
  \tensor{K} \tensor{\hat{u}} = \tensor{\hat{r}}
\]
Gelöst wird das Gleichungssystem nach
\[
  \tensor{\hat{u}} = \tensor{K}^{-1} \tensor{\hat{r}}
\]
wobei vorher das noch singuläre FE"=Gleichungssystem
mit den Lagerbedingung \(\tensor{\hat{u}}_0\) sich zu einem eindeutig lösbaren System reduziert.
%\[
%  \tensor{\hat{u}}\ti{red} = \tensor{K}\ti{red}^{-1} \tensor{\hat{r}}\ti{red}
%\]
Genauer wird zwischen unbekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{a}\) und bekannten Verschiebungen~\(\tensor{\hat{u}}\ti{b} = \tensor{\hat{u}}_0\) unterschieden.
Das Gleichungssystem lässt sich mit diesen Bezeichnungen wie folgt umschreiben
\[
  \begin{bmatrix}
    \tensor{K}\ti{aa} & \tensor{K}\ti{ab} \\
    \tensor{K}\ti{ab}^\T & \tensor{K}\ti{bb}
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    \tensor{\hat{u}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{u}}\ti{b}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    \tensor{\hat{r}}\ti{a} \\ \tensor{\hat{r}}\ti{b}
  \end{bmatrix}
\]
Für die unbekannte Verschiebung gilt nun
\[
  \tensor{\hat{u}}\ti{a} = \tensor{K}\ti{aa}^{-1} \left( \tensor{\hat{r}}\ti{a} - \tensor{K}\ti{ab}\tensor{\hat{u}}\ti{b} \right)
\]
Dieses Gleichungssystem stellt das reduzierte Gleichungssystem dar.

Mit den ermittelten Verschiebungen können nun auch die unbekannten Knotenkräfte beziehungsweise Reaktionskräfte berechnet werden.
\[
  \tensor{\hat{r}}\ti{b} = \tensor{K}\ti{ab}^\T\tensor{\hat{u}}\ti{a} + \tensor{K}\ti{bb}\tensor{\hat{u}}\ti{b}
\]


\subsubsection{Dynamische Analysen}
Im Gegensatz zu dem statischen Fall~\(\tensorI{u}(\tensorI{x})\) sind bei dynamischen zeitabhängigen Problemen~\(\tensorI{u}(\tensorI{x},t)\) -- die Bewegungen beschreiben -- Trägheitskräfte \(\rho\tensorI{\ddt{u}}\) zu berücksichtigen.
Diese Trägheitskräfte wirken entgegengesetzt zur angenommenen Bewegungsrichtung.
Damit lautet die starke Form des Gleichgewicht oder der allgemeine dynamische Impulsbilanz für ein Materialpunkt
\[
  \begin{Array}{rlll}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T] , \\
    \tensorI{u} &= \tensorI{u}_0, & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_1 & \text{(Dirichlet'sche Randbedingungen)} \\
    \tensorII{\sigma}\cdot\tensorI{n} &= \tensorI{t} & \quad\forall \tensorI{x} \in \partial V_2 ~\wedge~ \forall t \in [0,T], & \text{(Neumann'sche Randbedingungen)} \\
    &&\multicolumn{2}{l}{\quad\text{wobei }\partial V_1 \cup \partial V_2 = \partial V ~\text{und}~\partial V_1 \cap \partial V_2 = \emptyset.}
  \end{Array}
\]
Hierin ist das Intervall \([0,T]\) das betrachtete Zeitintervall.

Sind geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskräfte zu simulieren, ist in der partiellen Differentialgleichung ein weiterer Dämpfungsterm \(d\tensorI{\dt{u}}\) zu berücksichtigen
\[
  \begin{Array}{rlll}
    \nabla\cdot\tensorII{\sigma} + \rho\tensorI{b} &= \rho\tensorI{\ddt{u}} + d\tensorI{\dt{u}} & \quad \forall \tensorI{x}\in V ~\wedge~ \forall t \in [0,T]
  \end{Array}
\]

Zu den Anfangsbedingungen gehören
\[
  \begin{Array}{rlll}
  \tensorI{u}(\tensorI{x},0) = \tensorI{u}_0 \\
  \tensorI{\dt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\dt{u}}_0 \\
  \tensorI{\ddt{u}}(\tensorI{x},0) = \tensorI{\ddt{u}}_0 \\
  \end{Array}
\]
Da diese möglichen Anfangsbedingungen nicht unabhängig voneinander sind, werden nur zwei der drei Anfangsbedingungen je Materialpunkt vorgeschrieben.
Die verbleibende Größe ergibt sich aus der Auswertung der partiellen Differentialgleichung zum Zeitpunkt \(t=0\).

\paragraph{Globales Gleichgewicht über schwache Formulierung des Randwertproblems}~\\
Die Umformung in die schwache Formulierung erfolgt analog zum statischen Fall
\[
  \int\limits_{V}\!\!\!\tensorII{\sigma} : \nabla\delta\tensorI{u} \dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V
  = \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{b}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V + \!\!\int\limits_{\partial V_2}\!\!\!\tensorI{t}\cdot\delta\tensorI{u}\dif A 
%  + \sum\tensorI{F}_i\cdot\delta\tensor{u}_i 
  \quad \forall t \in [0,T]
\]


\paragraph{Das FE"=Gleichungssystem}~\\
Bis auf den zweiten und dritten Term der linken Seite der Bewegungsdifferentialgleichung sind für die Terme die Partitionierung, Approximation und Assemblierung mit \(\rho\tensorI{b} = \tensorI{f}\) im statischen Fall gezeigt. Die Beschreibung für den zweiten und dritten Term der linken Seite erfolgt analog
\[
  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
  \!\!\int\limits_V\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
  \sum\limits_{(e)}\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\rho\tensorI{\ddt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = 
  \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T\rho\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \tensor{\hat{\ddt{u}}} \\[1.5em]
  &\displaystyle = \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{M}^{(e)}\tensor{\hat{\ddt{u}}} \quad \text{mit }\tensor{M}^{(e)} = \rho\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \\[1em]
  &\displaystyle = \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} \quad \text{mit } \tensor{M} = \sum\limits_{(e)}\tensor{M}^{(e)}
  \end{Array}
\]
sowie
\[
  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
  \!\!\int\limits_V\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V &\displaystyle =
  \sum\limits_{(e)}\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!d\tensorI{\dt{u}}\cdot\delta\tensorI{u}\dif V = 
  \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T d\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \tensor{\hat{\dt{u}}} \\[1.5em]
  &\displaystyle = \sum\limits_{(e)}\delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{D}^{(e)}\tensor{\hat{\dt{u}}} \quad \text{mit }\tensor{D}^{(e)} = d\!\!\!\!\int\limits_{~V^{(e)}}\!\!\!\tensor{N}^\T\tensor{N}\dif V \\[1em]
  &\displaystyle = \delta\tensor{\hat{u}}^\T \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}} \quad \text{mit } \tensor{D} = \sum\limits_{(e)}\tensor{D}^{(e)}
  \end{Array}
\]
Mit dem gleichen Variationsargument resultiert das halbdiskrete Bewegungsgleichungssystem
\[
  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}(t) + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}(t) + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\hat{r}}(t)
\]
Mit \(\tensor{M}\) als Massenmatrix, \(\tensor{D}\) als Dämpfungsmatrix und \(\tensor{K}\) als Steifigkeitsmatrix sowie \(\tensor{\hat{r}}\) als Lastvektor.


\paragraph{Dämpfung}~\\
Der allgemeine Dämpfungsansatz erfolgt, wie gezeigt, in gleicherweise wie die Steifigkeitsmatrix und Massenmatrix durch Überlagerung von Elementmatrizen.
Dies entspricht den konstruktiven Einbau von Dämpfer als diskrete Dämpferelemente, die mit bekannte Dämpfungskonstante \(d\) berücksichtigt werden, 
und führt zu einer beliebigen Struktur der Dämpfungsmatrix.
Sind hingegen Strukturdämpfung oder Umgebungseinflüsse wie zum Beispiel Reibung zwischen zwei Reibpartner zu berücksichtigen, werden diese zumeist als proportionale Dämpfung berücksichtigt. Mit Reibpartner sind Reibungsvorgängen zwischen zwei Körper oder zwischen Körper und Fluid gemeint.

Bei Verwendung der proportionalen Dämpfung -- auch als Bequemlichkeitshypothese oder Rayleigh"=Dämpfung bekannt -- wird die Dämpfungsmatrix als Linearkombination von Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix beschrieben
\[
  \tensor{D} = \alpha\tensor{M} + \beta\tensor{K}
\]
[[Dieser Ansatz wird nicht zuletzt auch wegen der Diagonalisierbarkeit der Dämpfungsmatrix verwendet]]

\paragraph{Eigenfrequenzanalyse}~\\
Wichtige Informationen zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens einer Struktur sind Eigenfrequenzen und Eigenformen.
Hierzu wird das sogenannten Eigenschwingungsproblem untersucht, wobei \(\tensor{\hat{r}}(t)=0\) gilt.
Mit der Differentialgleichung für ungedämpfte freie Schwingung 
\[
  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}} = \tensor{0}
\]
sowie das Einsetzen des harmonischen Lösungsansatzes
\[
  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\phi}\euler^{\im\omega t} \quad \text{mit } \im = \sqrt{-1}
\]
in die Differentialgleichung, liefert das (reelle) Eigenwertproblem
\[
  (-\lambda \tensor{M} + \tensor{K}) \tensor{\phi} = \tensor{0} \quad \text{mit } \lambda=\omega^2 
\]
wobei allgemein \(\euler^{\im\omega t} \neq 0 \) gilt.
Für die Nichttriviale Lösung folgt die charakteristische Gleichung
\[
  \det{(\tensor{K}-\lambda\tensor{M})} = 0 
\]
Hierin sind \(\lambda_i\) die Eigenwerte und \(\omega_i\) die Eigenkreisfrequenzen sowie \(f_i=\frac{\omega_i}{2\pi}\) die Eigenfrequenzen und \(\tensor{\phi}_i\) die Eigenvektoren beziehungsweise Eigenmoden.
Jeder Eigenwert \(\lambda_i\) entspricht eine nichttriviale Lösung mit den Eigenvektor \(\tensor{\phi}_i\).
\[
  (\tensor{K} - \lambda_i \tensor{M}) \tensor{\phi}_i = \tensor{0}
\]
Die Eigenvektoren sind bezüglich der Steifigkeitsmatrix und der Massenmatrix orthogonal und es gilt
\[
  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
  \tensor{\phi}_i^\T \tensor{M} \tensor{\phi}_j = 0~, &\quad \tensor{\phi}_i^\T \tensor{M} \tensor{\phi}_i = \tilde{m}_i~, \\
  \tensor{\phi}_i^\T \tensor{K} \tensor{\phi}_j = 0~, &\quad \tensor{\phi}_i^\T \tensor{K} \tensor{\phi}_i = \tilde{k}_i~.
  \end{Array}
\]
wobei \(\tilde{m}_i\) modale Massen und \(\tilde{k}_i\) modale Steifigkeiten sind.
Beziehungsweise beschreibt die modale Matrix \(\tensor{\Phi}=[\phi_1 ~ \phi_2 ~ \cdots ~ \phi_n]\), in der spaltenweise die Eigenvektoren angeordnet sind, die modale Transformation der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix in Diagonalmatrizen, der sogenannten modalen Massenmatrix sowie modalen Steifigkeitsmatrix.
\[
  \tensor{\tilde{M}} = \tensor{\Phi}^\T\tensor{M}\tensor{\Phi} \quad\text{und}\quad
  \tensor{\tilde{K}} = \tensor{\Phi}^\T\tensor{K}\tensor{\Phi} 
\]
Eingesetzt in das System von Differentialgleichung und Linksmultiplikation von \(\tensor{\Phi}^\T\) ergibt eine völlige Entkoppelung in einzelne unabhängige Differentialgleichungen
\[
  \tensor{\Phi}^\T\tensor{M}\tensor{\Phi}\tensor{\ddt{q}} + \tensor{\Phi}^\T\tensor{K}\tensor{\Phi}\tensor{q} = 0
  \quad\text{bzw.}\quad
  \tilde{m}_i q_i + \tilde{k}_i q_i = 0~, \quad i=1,\ldots,n
\]
Hierin verknüpft die Vektortransformation beziehungsweise Rücktransformation
\[
  \tensor{q}(t) = \tensor{\Phi}^\T\tensor{\hat{u}}(t)
  \quad\text{bzw.}\quad
  \tensor{\hat{u}}(t) = \tensor{\Phi}\tensor{q}(t)
\]
die physikalischen Koordinaten \(\tensor{\hat{u}}(t)\) mit den modalen Koordinaten \(\tensor{q}(t)\).

Ist hingegen eine Dämpfung zu berücksichtigen, führt die Differentialgleichung einer gedämpften freien Schwingung mit dem exponentiellen Lösungsansatzes
\[
  \tensor{\hat{u}} = \tensor{\phi}\euler^{\lambda t}
\]
zu einem quadratischen Eigenwertproblem
\[
  (\lambda^2\tensor{M} + \lambda\tensor{D} + \tensor{K})\tensor{\phi} = \tensor{0}
\]
Als Lösung ergeben sich komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren.
Sind von allen Eigenwerten die Realanteile negativ liegt eine gedämnpfte Schwingung vor, wobei der Realteil des Eigenwertes die Abklingkonstante und der Imaginärteil des Eigenwertes die Eigenkreisfrequenz der Schwingung darstellt.
Im Falle von positiven Realteilen ist das System instabil, so nehmen beispielsweise die Amplituden über der Zeit immer größere Werte an.

[[Modale Superposition, ggf. Effektive Massen]]

\paragraph{Transiente Analyse}~\\
Neben der Volumendiskretisierung wird für die Zeitintegration von transienten Feldgleichungen das zu untersuchende Zeitintervall in diskrete Zeitabschnitte \(\Delta t\) unterteilt
\[
  [0,T] = \bigcup \Delta t \quad \text{mit } \Delta t = t_{n+1} - t_n
\]
Für das halbdiskrete zeitlich abhängige FE"=Gleichungssystem zum Zeitpunkt \(t_{n+1}\)
\[
  \tensor{M}\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} + \tensor{D}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} + \tensor{K}\tensor{\hat{u}}_{n+1} = \tensor{\hat{r}}_{n+1}
\]
erfolgt die Einschritt"=Zeitintegration beispielsweise nach \citeauthor{newmark59}~\cite{newmark59} mit aktualisierter Verschiebung und Geschwindigkeit
\[
  \begin{Array}{rlll} \displaystyle
  \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} +  \left[ (1-\delta)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \delta\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t \\[1em]\displaystyle
  \tensor{\hat{u}}_{n+1} &\displaystyle= \tensor{\hat{u}}_{n} + \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n}\Delta t + \left[ \left(\frac{1}{2}-\alpha \right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} + \alpha\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} \right] \Delta t^2 
  \end{Array}
\]
worin \(\alpha\) und \(\delta\) Newmark"=Parameter sowie
\(\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}, \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n}, \tensor{\hat{u}}_{n}\) die bekannten Knotenbeschleunigung, Knotengeschwindigkeit und Knotenverschiebung zum Zeitpunkt \(t_n\) sind.
Die Umschreibung des Gleichungssystem erfolgt nach einsetzen zu
\[
  \begin{Array}{llll} \displaystyle
  \left[\frac{1}{\alpha\,\Delta t^2} \tensor{M} +
  \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t} \tensor{D} + \tensor{K}\right]\tensor{\hat{u}}_{n+1} =\\[1em]
  \displaystyle \tensor{\hat{r}}_{n+1} +
  \tensor{M}\left[ \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\tensor{\hat{u}}_{n} + \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} \right] +
  \tensor{D}\left[ \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{u}}_{n} + \left(\frac{\delta}{\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} + \frac{\Delta t}{2}\left(\frac{\delta}{\alpha}-2\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n} \right]
  \end{Array}
\]
Mit der jetzigen Kenntnis von \(\tensor{\hat{u}}_{n+1}\) können mit den folgenden Gleichungen \(\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1}\) und \(\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1}\) bestimmt werden
\[
  \begin{Array}{llll} \displaystyle
  \tensor{\hat{\dt{u}}}_{n+1} = \frac{\delta}{\alpha\,\Delta t}\left(\tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n}\right) - \left(\frac{\delta}{\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \frac{\Delta t}{2}\left(\frac{\delta}{\alpha}-2\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}
  \\[1em] \displaystyle
  \tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n+1} = \frac{1}{\alpha\,\Delta t^2}\left( \tensor{\hat{u}}_{n+1} - \tensor{\hat{u}}_{n} \right) - \frac{1}{\alpha\,\Delta t}\tensor{\hat{\dt{u}}}_{n} - \left(\frac{1}{2\alpha}-1\right)\tensor{\hat{\ddt{u}}}_{n}
  \end{Array}
\]
Die Stabilität und Genauigkeit beziehungsweise die numerischen Dämpfung wird mit dem \textsc{Newmark}"=Parameter \(\delta\) beziehungsweise mit \(\delta\) und \(\alpha\) gesteuert
\[
  \delta\geq\frac{1}{2}~,\quad \alpha\geq\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\delta\right)^2
\]
Erfüllen die \textsc{Newmark}"=Parameter die obigen Bedingungen ist das Verfahren unbedingt stabil.\cite{hughes87}
Wird zusätzlich für die numerische Dämpfung der \textsc{Newmark}"=Methode eine Abklingkonstante \(\gamma\geq 0\) eingeführt, lassen sich die \textsc{Newmark}"=Parameter in Abhängigkeit der Abklingkonstante beschreiben
\[
  \delta = \frac{1}{2}+\gamma~,\quad
  \alpha = \frac{1}{4}(1+\gamma)^2~,\quad
  \gamma \geq 0
\]

%\paragraph{Stationäre Analyse}~\\


\subsection{Faserverbundwerkstoffe}
Faserverbundwerkstoffe sind auf makroskopischer Ebene eine Kombination von mehreren Materialien.
Ihr Vorteil liegt bei geeigneter Gestaltung darin, dass positive Eigenschaften der einzelnen Komponenten und mitunter auch Eigenschaften die nur in Kombinationen auftreten hervorgebracht werden.
Unterschieden wird bei Faserverbundwerkstoffen zwischen Werkstoffe die
aus einer Matrix mit eingebetteten Fasern und 
aus Laminate, die aus mehreren Schichten von Materialien verbunden sind,
bestehen. 
Sowohl die Faserarchitektur als auch der Laminataufbau haben signifikanten Einfluss auf das makroskopische Werkstoffverhalten.

In den nachfolgenden Unterabschnitte wird gezeigt wie das Werkstoffverhalten von Faserverbundwerkstoffen beschrieben werden kann.
Grundlage dieses Abschnittes bildet dabei das Werke \citetitle{ermanni04} von \citeauthor{ermanni04}~ \cite{ermanni04}.

\subsubsection{Werkstoffgesetze}
Das Materialgesetzt mit 21 unabhängigen Elastizitätskonstanten, wie es im Abschnitt zur Strukturmechanik~\ref{statik} aufgezeigt ist, beschreibt ein anisotropes Material. 